Определить форму стакана заданного объема

[B@R5uk]

Было бы интересно посмотреть на уравнение, которым эта поверхность будет задаваться. Решение его, судя по всему, будет в виде бесконечного ряда выписываться только. Дело можно, наверное, немного упростить, если учесть симметрию системы и писать уравнение только для одной из четвертей стороны стакана (выходящей из одной из сторон квадрата).

[Someone]

wrest в сообщении #1329572 писал(а):

Только непонятно что значит "надувается".

Ну, наверняка Вы воздушные шарики надували.
Математически это означает, что, кроме граничных условий и минимизируемого функционала, есть ещё условие на величину объёма.

[wrest]

Someone в сообщении #1329587 писал(а):

Ну, наверняка Вы воздушные шарики надували.
Математически это означает, что, кроме граничных условий и минимизируемого функционала, есть ещё условие на величину объёма.

Да, но как раз насчет границы и непонятно, какие там условия.

Кстати, возможно отдаленной иллюстрацией могут быть теже мыльные пузыри или пузыри от дождя на воде. Насколько я помню визуально, они всегда имеют форму полусферы, т.е. с плоскостью [воды] пленка пересекается под прямым углом. Это граничное условие вы имели в виду?

(Оффтоп)

[B@R5uk]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1329591 писал(а):

т.е. с плоскостью [воды] пленка пересекается под прямым углом.

На счёт прямого угла, утверждение сомнительно. Давление внутри пузыря будет выше (за счёт поверхностного натяжения), чем снаружи пузыря. Поэтому горизонтальная составляющая сил внешнего и внутреннего давления воздуха, действующих на границу пузыря, должна будет чем-то компенсироваться. Это что-то является горизонтальной поверхностью силы натяжения плёнки пузыря. Чтобы эта проекция была отлична от нуля, угол между поверхностью и плёнкой должен быть отличен от прямого.

Но это к делу не относится.

[Someone]

B@R5uk в сообщении #1329594 писал(а):

На счёт прямого угла, утверждение сомнительно. Давление внутри пузыря будет выше

Я апеллировал к пузырям только как к наглядному образу. То же имел в виду и wrest:

wrest в сообщении #1329591 писал(а):

возможно отдаленной иллюстрацией могут быть теже мыльные пузыри или пузыри от дождя на воде.

wrest в сообщении #1329591 писал(а):

Да, но как раз насчет границы и непонятно, какие там условия.

Там две границы с разными условиями: граница квадрата, где условием является ("шарнирное") закрепление плёнки, и "свободный" край, где условие действительно состоит в перпендикулярности плёнки и плоскости края стакана. Видимо, можно отобразить стакан относительно этой плоскости и получить задачу о плёнке, натянутой на два параллельных квадрата и ограничивающей заданный объём.

Вообще, это какой-то случай проблемы Плато (может быть, какое-то обобщение проблемы Плато). Я знаю, что многомерным аналогом проблемы Плато занимался А. Т. Фоменко, но никогда этой проблематикой не интересовался.

[wrest]

Someone в сообщении #1329628 писал(а):

Видимо, можно отобразить стакан относительно этой плоскости и получить задачу о плёнке, натянутой на два параллельных квадрата и ограничивающей заданный объём.

Да, это уже "визуально" наверное ближе к решению: берем два твердых данных параллельных основания (квадрата), натягиваем между ними пленку, т.е. обматываем по периметру и закрепляем "шарнирно" на ребрах квадратов, вдуваем туда два данных объема, минимизируем площадь пленки двигая квадраты-основания ближе-дальше и в минимуме получаем решение: два искомых стакана, состыкованных краями. Или надуваем два объема и просто отпускаем и дальше оно само?
Пленка наверное нужна именно с постоянной силой натяжения, как мыльная? В смысле не гуковская, как от резинового шарика?
ТС-у осталась самая малость: все посчитать

[Someone]

wrest в сообщении #1329647 писал(а):

Пленка наверное нужна именно с постоянной силой натяжения, как мыльная? В смысле не гуковская, как от резинового шарика?

Нет. Там же есть функционал площади поверхности, его и надо минимизировать. А всякая механика типа силы упругости плёнки или давления газа будет искажать результат.

[pogulyat_vyshel]

Someone в сообщении #1329682 писал(а):

А всякая механика типа силы упругости плёнки или давления газа будет искажать результат.

Не искажать, а приводить к темже уравнениям

[Someone]

pogulyat_vyshel в сообщении #1329708 писал(а):

Не искажать, а приводить к темже уравнениям

Не буду спорить, поскольку никогда этими вопросами не занимался.

[DeBill]

Что-то мне кажется, народ дружно валяет дурака (превратив типовую задачу "на производную" в НЕЧТО - интересное. Но задача то не решена...).
В соответствии с определением стакана, приведенным выше, имеем: стакан есть цилиндр (с основанием "квадрат", видимо). Из условия "для пития" считаем отсутствующей верхнюю (в предположении что сила тяжести направлена вниз) крышку. (Несколько напрягает условие "без ручки". Означает ли это, что выпуклая оболочка гомотопна шару?).
Из конечномерности задачи и непрерывности функционала имеем существование точки экстремума. Заменим кривую призму прямой - станет лучше... Значит, $a^2H = V, a^2 +4aH \to \min$...

[wrest]

DeBill в сообщении #1331077 писал(а):

соответствии с определением стакана, приведенным выше, имеем: стакан есть цилиндр

Нет, не цилиндр. И не [усеченный] конус.

[DeBill]

Ай, блин, перечитал определение: вовсе не факт, что квадрат - в основании цилиндра...
wrest Ну как же не цилиндр?

-- 07.08.2018, 21:22 --

grizzly в сообщении #1329487 писал(а):

Толковый словарь Ушакова чётко определяет характеристические признаки:
Цитата:

1. Стеклянный сосуд для питья цилиндрической формы без ручки, обычно вмещающий около трети бутылки.

-- 07.08.2018, 21:25 --

А, тоже решается. Это будет прямой цилиндр, в основании которого - полукруг, а "боковая грань" - квадрат.

[wrest]

DeBill
Тут имеется в виду скорее чашка (без ручки), пиала. С квадратным дном.
На квадрате оно стоит.

[Otta]

DeBill в сообщении #1331079 писал(а):

вовсе не факт, что квадрат - в основании цилиндра...

DeBill

melnikoff в сообщении #1329425 писал(а):

стакана заданного объема с наименьшей площадью поверхности с квадратным основанием.

[DeBill]

Otta
Вах...

wrest в сообщении #1331081 писал(а):

Тут имеется в виду скорее чашка (без ручки), пиала. С квадратным дном.
На квадрате оно стоит.

Ага, но это - совсем другая задача, не задача ТС.
А для "пиалы" идея с удвоением -хороша!

-- 07.08.2018, 22:26 --

Но: какие-то ужасные ур-я Эйлера-Лагранжа. Нерешабельные.
Что-то это мне напоминает: вроде, в классической задаче про Total variation, похожие монстры (попроще чуток) вылазят.
И там для квадрата - не очень давно - численно решили. А для любых выпуклых оснований решение (сечения на заданной высоте) - описывают в терминах "изопериметрической задачи". Но явно - только для круга
А, ну ладно: а для круглого основания - что получится?