Определить форму стакана заданного объема

[melnikoff]

Определить форму стакана заданного объема с наименьшей площадью поверхности с квадратным основанием. Найти площадь такого стакана.
Как я понимаю, должно получиться что-то вроде этого:

Или этого:

Как подступиться к задаче?

[melnikoff]

Хотя, в такой формулировке, отчет очевиден – форма стакана будет стремиться к сфере, а квадратное основание будет стремиться к нулю.
Дополняю условие:
Определить форму стакана заданного объема с наименьшей площадью поверхности с заданным квадратным основанием. Найти площадь такого стакана.

[Otta]

Пожалуйста, дайте определение стакана.

[grizzly]

Otta в сообщении #1329485 писал(а):

Пожалуйста, дайте определение стакана.

Толковый словарь Ушакова чётко определяет характеристические признаки:

Цитата:

1. Стеклянный сосуд для питья цилиндрической формы без ручки, обычно вмещающий около трети бутылки.

[Otta]

grizzly
Ну у человека сфера вон уже подходила, так я на всякий случай.

[melnikoff]

Кстати, ответ "сфера" для начальной формулировки неверен, так как стакан не обязан быть закрытым. Значит должно получиться что-то похожее на цилиндр.

[dsge]

Минимизировать поверхность при ограничениях на объем

$$\iint\limits_{square}f(x,y)dx dy = A$$

Составит функцию Лагранжа, взять ее вариацию в минимуме и приравнять ее к нулю, получится какое-то интегральное уравнение, решить его, проверить является ли решение минимумом.

[alisa-lebovski]

В такой формулировке непонятно вообще, что такое поверхность стакана, если произвольная часть поверхности сверху может быть удалена (стакан открыт). Но чтобы имел смысл объем (жидкость не проливается), во-видимому, должна быть снята только вся поверхность выше некоторого неизвестного уровня.

[Someone]

melnikoff в сообщении #1329516 писал(а):

Кстати, ответ "сфера" для начальной формулировки неверен, так как стакан не обязан быть закрытым. Значит должно получиться что-то похожее на цилиндр.

Полусфера, насколько я знаю. Надо достроить стакан симметрично относительно плоскости верхнего края, и получится стандартная задача о теле заданного объёма с наименьшей поверхностью.

[B@R5uk]

Разве не очевидно, что верх стакана должен быть окружностью, большего размера, чем квадратное дно, а боковые стенки примут форму, какую принимает мыльный пузырь, натянутый на эти две границы (круглую и квадратную)? Мыльный пузырь же как раз стремиться принять форму поверхности с наименьшей площадью, не?

[wrest]

B@R5uk в сообщении #1329556 писал(а):

Разве не очевидно, что верх стакана должен быть окружностью, большего размера, чем квадратное дно

Это что значит -- окружность должна быть больше вписанной в квадрат, больше описанной, с длиной бОльшей чем периметр квадрата?

Интуитивно, мыльная пленка будет как бы вогнутой внутрь стакана, а для максимальности объема при минимальности площади интуитивно кажется что нужна выпуклость.

[B@R5uk]

wrest в сообщении #1329560 писал(а):

Это что значит -- окружность должна быть больше вписанной в квадрат?

Перевёрнутый усечённый конус имеет больший объём, чем цилиндр с тем же самым основанием и площадью боковой стороны. В этом смысле больше.

wrest в сообщении #1329560 писал(а):

Интуитивно, мыльная пленка будет как бы вогнутой внутрь стакана, а для максимальности объема при минимальности площади интуитивно кажется что нужна выпуклость.

Вот тут вы, судя по всему, правы. Но тогда никаких сокращений по переулкам не видно: придётся честно решать полную вариационную задачу.

[Someone]

wrest в сообщении #1329560 писал(а):

Интуитивно, мыльная пленка будет как бы вогнутой внутрь стакана, а для максимальности объема при минимальности площади интуитивно кажется что нужна выпуклость.

Ну, у нас есть кусок границы тела в виде заданного квадрата. Вторая часть границы пусть располагается в плоскости, параллельной плоскости квадрата и находящейся на некотором расстоянии от квадрата. Плёнка натягивается на границу квадрата, замыкается на плоскости (но заранее неизвестно, какую область она там ограничивает) и надувается до заданного объёма. Потом ещё надо подобрать положение плоскости, дающее наименьшую площадь плёнки.

[B@R5uk]

Someone в сообщении #1329568 писал(а):

но заранее неизвестно, какую область она там ограничивает

Кстати, да. Здесь я тоже ошибся: если целевой объём $V$ и сторона квадрата $a$ таковы, что $V << a^3$, то верхний край стакана, очевидно, будет больше похож на квадратное основание, чем на круг.

[wrest]

Someone в сообщении #1329568 писал(а):

Плёнка натягивается на границу квадрата, замыкается на плоскости (но заранее неизвестно, какую область она там ограничивает) и надувается до заданного объёма.

Да, описательно -- выглядит хорошо. Только непонятно что значит "надувается".

-- 30.07.2018, 16:24 --

B@R5uk в сообщении #1329569 писал(а):

то верхний край стакана, очевидно, будет больше похож на квадратное основание, чем на круг.

А из интуитивных соображений непрерывности, кругом он не станет никогда.