Вопрос о классификации групп (и не только групп)

[vpb]

Munin в сообщении #1327804 писал(а):

1) Как-то странно, что ${\mathcal E}(H,N,\psi)$ может быть пусто. Я думал, по данному $\psi$ всегда можно построить $N\leftthreetimes_\psi H.$ Можно привести простенький пример?

Можно привести пример. Однако такой пример не может быть слишком простым. В частности, обязательно $|N|\geq16$.

Прежде всего, заметим следующее. Допустим, что подгруппа ${\rm Inn}(N)$ дополняема в ${\rm Aut}(N)$, т.е. ${\rm Aut}(N)={\rm Inn}(N)\leftthreetimes K$ для некоторой подгруппы $K<{\rm Aut}(N)$. Это эквивалентно тому, что
отображение ${\rm Aut}(N)\longrightarrow{\rm Out}(N)$ имеет сечение, т.е. существует такой гомоморфизм $\alpha:{\rm Out}(N)\longrightarrow{\rm Aut}(N)$, что композиция

$${\rm Out}(N)\stackrel\alpha\longrightarrow{\rm Aut}(N)\longrightarrow{\rm Out}(N)$$

--- тождественное отображение на ${\rm Out}(N)$. Тогда всегда ${\mathcal E}(H,N,\psi)$ непусто. В самом деле, рассмотрим композицию

$$\beta:H\stackrel\psi\longrightarrow{\rm Out}(N)\stackrel\alpha\longrightarrow{\rm Aut}(N),$$

возьмем полупрямое произведение $G=N\leftthreetimes_\beta H$, тогда достаточно рассмотреть точную последовательность

$$ 1\longrightarrow N \longrightarrow G\longrightarrow H\longrightarrow 1 $$

(стрелки определены очевидным образом).

(примечание)

Напомним, что полупрямое произведение $X\leftthreetimes_\varphi Y$, где $\varphi$ --- какой-либо гомоморфизм из $Y$ в ${\rm Aut}(X)$, определяется следующим образом: $X\leftthreetimes_\varphi Y=X\times Y$ как множество, а умножение дается правилом

$$ (x,y)(x_1,y_1)=(x\cdot \varphi(y)(x_1), yy_1).$$

Для любой абелевой группы $N$ имеем ${\rm Inn}(N)=1$. Также легко проверить, что для любой неабелевой группы порядка $\leq15$ подгруппа ${\rm Inn}(N)$ дополняема в ${\rm Aut}(N)=1$. Значит, ${\mathcal E}(H,N,\psi)$ может быть пусто, только если $N$ --- неабелева группа порядка $\geq16$.

Такой пример с $|N|=16$ и $|H|=2$ есть. Иначе говоря, существует группа $N$ порядка 16, и внешний автоморфизм $\gamma\in{\rm Out}(N)$ порядка 2, для которых не существует группы $G$, содержащей $N$ в качестве подгруппы
индекса 2, причем внешний автоморфизм группы $N$, индуцированный элементом $x\in G\setminus N$, совпадал бы с $\gamma$.

Пусть $N=D_{16}$ --- диэдральная группа порядка 16, т.е. группа симметрий правильного 8-угольника. Она может быть задана образующими и соотношениями как

$$N=\langle a,b\mid a^8=b^2=1,\ bab^{-1}=a^{-1}\rangle. $$

Рассмотрим элементы $a'=a^3$ и $b'=ba$. Тогда $a'$ и $b'$ удовлетворяют определяющим соотношениям для $a$, $b$. Поэтому существует гомоморфизм $\zeta:N\longrightarrow N$ такой, что $\zeta(a)=a'$, $\zeta(b)=b'$. Кроме того, $\langle a',b'\rangle=N$, поэтому $\zeta$ сюръективен, следовательно, является автоморфизмом. Этот автоморфизм не является
внутренним, так как $a^3$ и $a$ не сопряжены в $N$.

В качестве $\gamma$ возьмем класс автоморфизма $\zeta$ в ${\rm Out}(N)$. Покажем, что $\gamma^2=1$, т.е. что $\zeta^2$ --- внутренний автоморфизм. Имеем

$$\zeta^2(a)=\zeta(\zeta(a))=\zeta(a^3)=(a^3)^3=a^9=a, $$

$$\zeta^2(b)=\zeta(\zeta(b))=\zeta(ba)=\zeta(b)\zeta(a)=ba\cdot a^3=ba^4. $$

Но сопряжение элементом $a^2$ переводит $a$ в себя, а $b$ в $ba^4$, т.е. совпадает с $\zeta^2$. Значит, $\zeta^2$ --- внутренний, откуда $\gamma^2=1$.

Теперь допустим, от противного, что группа $G$ с искомыми свойствами существует. Пусть $x\in G\setminus N$. Сопряжение элементом $x$ индуцирует автоморфизм $\xi$ группы $N$, класс которого в ${\rm Out}(N)$ совпадает с $\gamma$. Имеем $\xi=\zeta\tau$, где $\tau\in{\rm Inn}(N)$. Пусть $y\in N$ --- элемент такой, что сопряжение элементом $y$ действует на $N$ как $\tau$. Тогда сопряжение элементом $z=xy^{-1}$ действует на $N$ как $\zeta$ :
$znz^{-1}=\zeta(n)$, для любого $n\in N$. Поэтому сопряжение элементом $z^2$ действует на $N$ как $\zeta^2$, т.е. так же, как сопряжение элементом $a^2$. Кроме того, $z^2\in N$. Значит, $z^2=a^2t$, где $t$ --- элемент из центра группы $N$, т.е. $t\in\{1, a^4\}$. Таким образом, $z^2=a^2$ или $a^6=a^{-2}$.

Очевидно, $z^2$ должно коммутировать с $z$. Т.е. $z^2$ должно быть инвариантным относительно $\zeta$. Однако ни $a^2$, ни $a^{-2}$ --- не инвариантны (а именно, $\zeta$ переставляет их между собой). Противоречие.

[Munin]

Потрясающе! Спасибо!