Трансцендентнозначная функция

[Grom Hellscream]

pogulyat_vyshel в сообщении #1330277 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1330269 писал(а):

Ну ответ очевидно нет, потому что точки разрыва монотонно функции изолированны

чавой то вдруг?

Да, поспешил немного. Из того, что они все первого рода не следует, что они изолированны.

[pogulyat_vyshel]

mihaild в сообщении #1330217 писал(а):

существует монотонная биекция $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, переводящая рациональные числа в алгебраические

эта фраза, как она написана, может быть понята так, что биекция переводит рациональные числа в алгебраические и еще некоторые иррациональные тоже в алгебраические

[mihaild]

Ktina в сообщении #1330280 писал(а):

Ну, так и быть, приведу не мой пример:

А, пардон, я почему-то думал что нужна сюръективность.
Ну ладно, раз обещал:
1. Строим монотонную биекцию $g: \mathbb{Q} \leftrightarrow \mathbb{A}$.
2. Доказываем, что $g$ непрерывна.
3. Продолжаем $g$ по непрерывности на всё $\mathbb{R}$.
4. Берем в качестве искомой функцию $g \circ f$.

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1330282 писал(а):

эта фраза, как она написана, может быть понята так, что биекция переводит рациональные числа в алгебраические и еще некоторые иррациональные тоже в алгебраические

Может. А может быть, с учетом контекста (и тривиальности утверждения в таком понимании) понята не так. Желающие могут уточнить.

[pogulyat_vyshel]

ну формулировать-то надо аккуратно, независимо от контекста

[g______d]

(Несколько подсказок для получения другого решения)

1) Пусть $A\subset \mathbb R$ -- замкнутое ограниченное множество положительной меры Лебега, $I\subset \mathbb R$ - конечный интервал положительной длины. Докажите, что существует монотонная функция $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$, строго монотонная на $I$, равная константе слева и справа от $I$ (константы, возможно, разные), такая что $f(x)\in A$ для всех $x\in \mathbb R$.

2) Докажите, что существует замкнутое подмножество $B\subset \mathbb R$, состоящее только из трансцендентных чисел, такое что для любого интервала $I$ из пункта 1 множество $B\cap I$ имеет положительную меру.

3) Решите исходную задачу, разбивая $\mathbb R$ на интервалы и используя пункты 1 и 2.

[Someone]

Ktina в сообщении #1330248 писал(а):

Знание про точки разрыва монотонной функции.

Точки разрыва монотонной функции, определённой на $\mathbb R$ — всегда первого рода. Пользы от этого знания в этой задаче действительно немного.

Ktina в сообщении #1330280 писал(а):

Ну, так и быть, приведу не мой пример:

Нда-а-а, надо же, какой необобщаемый метод… Я надеялся, что там излагается построение, использующее счётность множества рациональных чисел, тогда его было бы нетрудно применить к алгебраическим числам.
Построение мне известно, но подробно его излагать утомительно.

[gris]

А нельзя ли по подобию с приведённым решением для иррациональных чисел построить конструктивно решение для трансцендентных на основе хотя бы константы Лиувилля: $0.11000100...=\sum 10^{-n!}$. Не будет ли трансцендентным число, где вместо единичек стоят произвольные цифры (кроме непрерывных с некоторого момента нулей)?

[g______d]

gris в сообщении #1330322 писал(а):

Не будет ли трансцендентным число, где вместо единичек стоят произвольные цифры (кроме непрерывных с некоторого момента нулей)?

Будет. Иррациональное число, экспоненциально быстро приближающееся рациональными, всегда трансцендентно. Хорошая идея. Избавиться от нулей можно, записав изначально в девятеричной системе счисления и переводить цифры $0-8$ в $1-9$.