Перевод некоторых терминов линейной алгебры на русский язык

[Zeekless]

Здравствуйте! Мой вопрос адресован людям, знакомым с русскоязычными публикациями, использующими терминологию линейной алгебры, и касается следующий четырех англоязычных терминов (для простоты имена операторов дублируют сами термины):

$$ \begin{aligned} &\operatorname{Range} A = \{y \; | \; \exists x, y=Ax \}, \\ &\operatorname{Nullspace} A = \{x \; | \; Ax = 0 \},\\ &\operatorname{Rank} A = \operatorname{dim}\operatorname{Range} A, \\ &\operatorname{Nullity} A = \operatorname{dim}\operatorname{Nullspace} A,\\ \end{aligned} $$

где $A$ — (вещественная) матрица, $x$ — (вещественный) вектор, такие что умножение $Ax$ определено.

Вопрос звучит следующим образом: какие есть общепринятые (или не очень) варианты перевода приведённых терминов на русский язык? Очевидно, что $\;\operatorname{ Rank} $ — это "ранг", но с остальными терминами всё немножко хуже. Ниже я привожу свои догадки о том, какие эквиваленты могут иметь эти термины в русскоязычных публикациях:

$$ \begin{aligned} &\operatorname{Range ~-- } \text{столбцовое пространство},\\ &\operatorname{Nullspace ~--} \text {ядро}, \\ &\operatorname{Rank ~--} \text{ранг},\\ &\operatorname{Nullity ~--} \text{размерность ядра}.\\ \end{aligned} $$

Перевод слова $&\operatorname{Nullspace ~--}$ как "ядро" мне не очень нравится, потому как в английском языке есть соответствующее слово "kernel". Прошу знающих людей подсказать, какие на самом деле используются русскоязычные аналоги приведённых терминов. Мои догадки основаны на логике, но не на опыте.

Кроме этого, в английском языке есть так называемая "Rank-nullity theorem", утверждающая, что если $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, то $ \operatorname{Rank} A + \operatorname{Nullity} A = n$. Есть ли у этой теоремы какое-то название в русском языке?

[Otta]

По тем определениям, что Вы привели, это именно образ, ядро, ранг, и размерность ядра соответственно.
У Вас была уже тема с этими всеми словами и с этой теоремой, контекст ее тоже не оставлял сомнений, даже в отсутствие определений.

Zeekless в сообщении #1329255 писал(а):

Кроме этого, в английском языке есть так называемая "Rank-nullity theorem", утверждающая, что если $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$, то $ \operatorname{Rank} A + \operatorname{Nullity} A = n$. Есть ли у этой теоремы какое-то название в русском языке?

Связь размерности ядра и образа оператора.
Больше никак не встречала.

-- 28.07.2018, 13:56 --

Из англовики:

Цитата:

In mathematics, and more specifically in linear algebra and functional analysis, the kernel (also known as null space or nullspace) of a linear map...

[Xaositect]

Range - образ, nullspace - ядро. Kernel в смысле nullspace употребляется и в английском. Размерность ядра иногда называют дефектом, a rank-nullity theorem, соответственно, теоремой о ранге и дефекте, но редко.

[Zeekless]

Otta, Xaositect, большое вам спасибо за ответы!

Небольшое развитие моего вопроса: можно ли тогда называть $\operatorname{Range}A$ и $\operatorname{Nullspace}A$ соответственно "образом матрицы $A$" и "ядром матрицы $A$"? Или же следует говорить чуть более громоздко: "образ отображения, задаваемого матрицей $A$", "ядро линейного оператора $A$"?

И ещё видел английское словосочетание "Left nullspace", которым, судя по всему, обозначается $\{x \; | \; x^{\rm T}A = 0\}$. Как следует называть это множество по-русски: "левое ядро"? "коядро"?

[Otta]

Zeekless в сообщении #1329295 писал(а):

$\operatorname{Range}A$ и $\operatorname{Nullspace}A$ соответственно "образом матрицы $A$" и "ядром матрицы $A$"? Или же следует говорить чуть более громоздко: "образ отображения, задаваемого матрицей $A$", "ядро линейного оператора $A$"?

И так и так нормально. Но логичнее все же ядро и образ оператора $A$.

Zeekless в сообщении #1329295 писал(а):

"левое ядро"? "коядро"?

Коядро, да.

[Zeekless]

Otta, большое спасибо!

[vpb]

Нет, не коядро. Непременно и только левое ядро. А коядро --- это если есть линейное отображение $f:A\longrightarrow B$, то факторпространство $B/{\rm Im}\,f$ (где ${\rm Im}\,f$ --- то же, что и ${\rm Range}\,f$, т.е. образ) называется коядром и обозначается ${\rm Coker}\,f$. (Но это термин и понятие из гомологической алгебры, и Вам, видимо, не нужно).

Впрочем, может где-то левое ядро и коядром называется. Во всяком случае, это связанные понятия. Otta, Вы точно встречали "коядро" в этом смысле ?

[vpb]

Посмотрел Википедь. Ничто не говорит о том, что "левое ядро" и "коядро" могут обозначать одно и то же... Так что левое ядро, однозначно! (Левое ядро можно еще понимать как ядро сопряженного отображения, но это не повод называть его коядром).

[Otta]

vpb в сообщении #1329405 писал(а):

Otta, Вы точно встречали "коядро" в этом смысле ?

Я вот как раз "левое ядро" не встречала. Вам точно где-то это попадалось?
И отвечала как раз из тех соображений, что это и будет фактор по образу - все, что в образе, уйдет в ноль.

[vpb]

Попадалось сплошь и рядом. Скажем, Кострикин 2-й том, гл.1, пар.4. (в издании 2000 г. стр. 43) определяется левое ядро билинейной формы (если в матрицах, это в точности то, что ТС написал), а через две страницы упоминается между делом, что для симметрических форм левое и правое ядра совпадают. (и, очевидно, Кострикин этот термин не с головы взял). Например Э.Артин, Геометрическая алгебра, стр.34. И т.д. и т.п.

[Otta]

Ну вот, забыла, значит, Кострикина. :(
Тогда, конечно, "левое ядро" лучше.
А то смотри на него, что это - ядро сопряженного оператора, ортогональное дополнение к образу, еще бог весть что, когда спросили всего лишь перевод.
-----

(Оффтоп)

Я сплю, на самом деле, страшно: после затяжной жары случился ливень длиной в сутки, и что-то вот проснулась и полезла искать. Ищу и сплю, нашла вот словарь математический, - давно его не брала, - полистала, подивилась, до чего же он скуден, все что хочешь нашла, кроме книг по алгебре. А, Шафаревич-Ремизов попался, но там я не встретила. И вообще за себя сегодня я не ручаюсь, я где-то отдельно )) Без понятия, кто пишет этот пост.

[vpb]

(Otta)

Ну, счастливо доспать. А то, что эти два понятия слились в голове --- может, их в какой-то части науки (не в алгебре) обычно и отождествляют. Например, если у нас на пространстве есть обычная евклидова метрика, и есть какой-то самосопряженный (относительно этой метрики) оператор, то у него ядро и образ дополнительны, поэтому ядро можно канонически отождествить с коядром... как-то наверное так, в общем.

[g______d]

vpb в сообщении #1329405 писал(а):

Впрочем, может где-то левое ядро и коядром называется. Во всяком случае, это связанные понятия.

Пусть всё конечномерно и над полем. Если бы было $A\colon X\to Y$, то $\{y\in Y^*\colon yA=0\}$ -- то же самое, что $\ker A^*$. Последнее можно канонически отождествить с $Y/\mathrm{Im}\,A$.

Т. е. в таком виде я не вижу серьёзной ошибки в назывании $\{y\in Y^*\colon yA=0\}$ коядром.

Вот в исходной формулировке менее понятно -- что такое $x^T$? Если операция, то у неё нет инвариантного определения без дополнительной структуры. Если просто символ того, что речь о векторе-строке, то нужно писать $\forall x^T$...

[pogulyat_vyshel]

g______d в сообщении #1329474 писал(а):

Пусть всё конечномерно и над полем. Если бы было $A\colon X\to Y$, то $\{y\in Y^*\colon yA=0\}$ -- то же самое, что $\ker A^*$. Последнее можно канонически отождествить с $Y/\mathrm{Im}\,A$.

а нужна ли для этого конечномерность?