Явная зависимость функции и уравнения Лагранжа от времени

[Dmitri314]

Разбираю Механику Ландау и Лифшица. Появился вопрос о наборе параметров функции Лагранжа и уравнений движения.
Вот что я понял:
Есть функция Лагранжа системы (пусть одной материальной точки) $L(q,\dot{q},t)$, которая зависит от

• Координаты точки $q(t)$ (это определяет потенциальную энергию системы)
• Скорости точки $\dot{q(t)}$ (это определяет кинетическую энергию системы)
• Время t (которое явно ни на что не влияет, исходя из определения ф. Лагранжа через разность энергий)

Методом вариационного исчисления получено уравнение Эйлера-Лагранжа, которое определяет кривую движения при наименьшем действии:
$\frac{\partial L}{\partial r}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=0$

Про это уравнение было сказано, что параметр времени t явно не входит в него.

Помогите, пожалуйста, увязать в голове следующие вопросы:
1. Почему в общем обозначении случае функция Лагранжа явно зависит от времени: $L(q,\dot{q},t)$, а при определении через разность энергий - нет.
2. Если не установлен вопрос о явной зависимости функции Лагранжа от времени (для меня лично), то почему можно говорить об отсутствии явной зависимости уравнений движения (уравнений Лагранжа) от времени?
3. Что изменится в трактовке функции Лагранжа при добавлении/удалении явной зависимости от времени?

[pogulyat_vyshel]

Dmitri314 в сообщении #1328585 писал(а):

Координаты точки $q(t)$ (это определяет потенциальную энергию системы)

непонятная фраза, кинетическая энергия тоже может зависеть от обобщенных координат и времени

Dmitri314 в сообщении #1328585 писал(а):

которое определяет кривую движения при наименьшем действии:

не кривую, а функцию, и не при наименьшем действии, а стационарную точку функционала действия

Dmitri314 в сообщении #1328585 писал(а):

Почему в общем обозначении случае функция Лагранжа явно зависит от времени: $L(q,\dot{q},t)$, а при определении через разность энергий - нет.

Скажем так. Пока вы читаете этот учебник ,комментировать данный вопрос нет смысла, как и кучу других дурацких вопросов, которые у вас еще возникнут. Если вы смените учебник на нормальный (я бы советовал Теоретическая механика, Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В), то этот вопрос отпадет сам собой.

[Guvertod]

Где сказано? Когда функция лагранжа не зависит от времени - это частный случай, в котором можно говорить о энергии, которая сохраняется.

[pogulyat_vyshel]

Guvertod в сообщении #1328622 писал(а):

Где сказано?

В учебнике естесна а вы где подумали? Сперва он говорит что рассматривает замкнутые системы и поэтому лагранжиан не зависит от времени. Уловить это при первом знакомстве с предметом трудно, а дальше будет еще чище ошибки пойдут откровенные

[Munin]

Dmitri314 в сообщении #1328585 писал(а):

1. Почему в общем обозначении случае функция Лагранжа явно зависит от времени: $L(q,\dot{q},t)$, а при определении через разность энергий - нет.

Потому что зависимость от времени может быть "спрятана" в энергию. Например, формула для потенциальной энергии может включать в себя время. Рассмотрим пружинный маятник с движущейся точкой опоры, например.

[Dmitri314]

pogulyat_vyshel в сообщении #1328597 писал(а):

Скажем так. Пока вы читаете этот учебник ,комментировать данный вопрос нет смысла, как и кучу других дурацких вопросов, которые у вас еще возникнут. Если вы смените учебник на нормальный (я бы советовал Теоретическая механика, Болотин С.В., Карапетян А.В., Кугушев Е.И., Трещев Д.В), то этот вопрос отпадет сам собой.

На счет книги - дело вкуса. Спасибо за совет, но я не люблю менять книги на ходу.

Munin в сообщении #1328655 писал(а):

Потому что зависимость от времени может быть "спрятана" в энергию. Например, формула для потенциальной энергии может включать в себя время. Рассмотрим пружинный маятник с движущейся точкой опоры, например.

Т.е. в общем случае зависимость от времени всегда учитывается, но при рассмотрении конкретных систем параметр времени может присутствовать/отсутствовать в явном виде?

[realeugene]

Dmitri314 в сообщении #1328585 писал(а):

Время t (которое явно ни на что не влияет, исходя из определения ф. Лагранжа через разность энергий)

Может не влиять, а может и влиять. В каких-нибудь кривых движущихся координатах может появиться явная зависимость от времени как потенциальной, так и кинетической энергии. Координаты, ведь, можно выбирать произвольные, не только декартовые и неподвижные.

[Munin]

Dmitri314 в сообщении #1328919 писал(а):

Т.е. в общем случае зависимость от времени всегда учитывается, но при рассмотрении конкретных систем параметр времени может присутствовать/отсутствовать в явном виде?

Грубо говоря да, но учебники механики почти полностью посвящены именно случаю, когда явной зависимости от времени нет. И он широко используется в теорфизике за рамками собственно механики, там где теормеханика используется как аппарат. Например, таковы замкнутые системы.

Так что, оговорив, что зависимость от времени может быть, мы дальше сосредотачиваемся на случае, когда её нет.

[amon]

Dmitri314 в сообщении #1328919 писал(а):

Т.е. в общем случае зависимость от времени всегда учитывается, но при рассмотрении конкретных систем параметр времени может присутствовать/отсутствовать в явном виде?

Тут такая история. ЛЛ - очень специфический учебник. Фактически, в нем рассматриваются только бездиссипативные системы с голономными связями. Поэтому, даже выучив его наизусть Вы не сможете рассчитать стропила для крыши или ходовую часть автомобиля. В нем почти не упоминаются уравнения Лагранжа второго рода с непотенциальными силами, реакции опор и еще много чего, что является основой "настоящей" механики, применяемой для реальных расчетов. С другой стороны, в ней есть многое из того, что необходимо для "продвинутых" применений в квантовой механике, стат. физике и проч., и проч. Короче, большую часть задач уважаемого pogulyat_vyshel Вы с помощью ЛЛ не решите, но стат. физику и квантовую механику изучать сможете.

Касательно вопроса. IMHO, все, что написано в пятом параграфе можно свести к трем фразам.
1. Сила потенциальна если $\mathbf{F} =-\nabla U.$ Функция $U$ может зависеть от времени.
2. Для потенциальных сил уравнения Ньютона совпадают с уравнениями Эйлера-Лагранжа (условием стационарности) функционала $S=\int\limits_{t_0}^{t}L(x,\dot{x},t)dt$ с $L=T-U$
3. Для непотенциальных сил дело темное.

Все остальные рассуждения при первом чтении можно пропустить без вреда, а может даже и с пользой.

-- 26.07.2018, 15:30 --

В качестве дополнительного учебника рекомендую заглянуть в учебник Арнольда "Математические методы классической механики". Балку и задачи pogulyat_vyshel вы после Арнольда тоже не решите, но многие места, которые ЛЛ объезжал на кривой козе, у Арнольда прояснены.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1328934 писал(а):

Поэтому, даже выучив его наизусть Вы не сможете рассчитать стропила для крыши или ходовую часть автомобиля

у Вас неверное представление о существе критики, которой данный учебник подвергается с момента его появления

realeugene в сообщении #1328927 писал(а):

В каких-нибудь кривых движущихся координатах может появиться явная зависимость от времени как потенциальной,

зависимость лагранжиана от времени чаще всего обусловлена существом задачи, а не выбором плохих координат

[Munin]

pogulyat_vyshel в сообщении #1328947 писал(а):

у Вас неверное представление о существе критики, которой данный учебник подвергается с момента его появления

Критика 1-го издания была настолько учтена со 2-го издания, что это по сути две разные книги. Критику 2-го издания никто не предъявлял.

-- 26.07.2018 16:47:59 --

(P. S. А по 1-му сейчас никто не учит и не учится, это библиографическая редкость, хотя в сети отсканированное есть.)

[amon]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1328947 писал(а):

у Вас неверное представление о существе критики, которой данный учебник подвергается с момента его появления

И Фока, и Арнольда я читал. Последний, к стати, к ЛЛ относился, как я понимаю, иронично, но положительно.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1328934 писал(а):

3. Для непотенциальных сил дело темное.

Не всегда. Например движение заряженной частицы в магнитном поле вполне описывается в рамках лагранжевой и гамильтоновой механик благодаря наличию векторного потенциала.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1328978 писал(а):

И Фока, и Арнольда я читал

Значит вы знаете, что ошибки, указанные Фоком, были исправлены не все, а некоторые из исправленных превратились в новые ошибки. Ошибки, указанные Арнольдом, не исправлялись вообще. Все сказанное относится ко всем последующим изданиям

Red_Herring в сообщении #1328980 писал(а):

гамильтоновой механик благодаря наличию векторного потенциала.

В общем случае это называется обобщенным потенциалом. Обобщенные силы $Q_j(t,x,\dot x)$ называются обобщенно потенциальными, если существует функция $W(t,x,\dot x)$ такая, что $Q_j=\frac{d}{dt}\frac{\partial W}{\partial \dot x^j}-\frac{\partial W}{\partial x^j}$

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1328987 писал(а):

Значит вы знаете, что ошибки, указанные Фоком, были исправлены не все, а некоторые из исправленных превратились в новые ошибки. Ошибки, указанные Арнольдом, не исправлялись вообще. Все сказанное относится ко всем последующим изданиям

Я согласен, что замечания Фока в значительной части применимы и к современному изданию. Если заниматься механикой всерьез, то изучать ее надо по другим учебникам, и, вообще, это давно не физика а либо математика, либо инженерия. Тем не менее, опыт показывает, что минимализм ЛЛ сильно облегчает жизнь студентам, особенно если в качестве дополнения использовать Арнольда. Ведь в дальнейшем физикам, занимающимся какой-нибудь condensed matter или частицами, нужен в основном аппарат принципа наименьшего действия и гамильтонова механика (последняя у ЛЛ не ах, но зато коротко ;). Ну нет реакций опор и сил трения в обычном понимании в condensed matter и частицах. С этим, видимо, и связано маловразумительное для студентов замечание в охаиваемом параграфе: "... Это обстоятельство вносит в движение новый фактор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосновения, в результате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой механики".