Производная

[Solaris86]

Я хотел бы для себя для пущей наглядности придать конкретные значения высказываниям:
А истинно: Мяч круглый
А ложно: Мяч квадратный.
В истинно: Рыба плавает.
В ложно: Рыба ходит.

Munin в сообщении #1328411 писал(а):

Потому что отрицание - это логическая операция, действующая только на одно высказывание.

Значит, при ней высказывание B вообще не трогают? Тогда почему при операции отрицания только 2 из 4 высказываний определены: одно как ложь и другое как истина, а вместо ещё двух определений - пустые места?

Munin в сообщении #1328411 писал(а):

Это ещё три логические операции.

Конъюнкция и дизъюнкция понятны.
Импликация, эквиваленция и исключающее или не могу осознать.
Допустим, если мяч круглый, то рыба плавает. Почему это истина? Как вообще связаны два этих факта?!

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1328418 писал(а):

Тогда почему при операции отрицания только 2 из 4 высказываний определены: одно как ложь и другое как истина, а вместо ещё двух определений - пустые места?

Просто чтобы нарисовать всё в одной таблице. Лень было делать отдельную таблицу из двух столбцов и двух строк.

Solaris86 в сообщении #1328418 писал(а):

Допустим, если мяч круглый, то рыба плавает. Почему это истина? Как вообще связаны два этих факта?!

Никак не связаны. Но наблюдаемая истинность того, что рыба плавает, никак не противоречит существованию такой связи.

Вот если кто-то скажет "если мяч круглый, то рыба ходит", то ему ответят: "постойте, но ведь мяч же круглый, но рыба не ходит! Значит, неверно, что есть такая связь."

-- 23.07.2018 22:48:57 --

Решите:

Nemiroff в сообщении #1058837 писал(а):

А азы логики это классика:


Цитата:

Перед вами на столе лежат четыре карты, каждая из которых имеет число с одной стороны и цветную рубашку с другой. Карты лежат в следующем порядке: 3, 8, красная, коричневая. Сколько и каких карт надо перевернуть, чтобы проверить истинность следующего утверждения: если на карте изображено чётное число, то рубашка у карты красная?

Задача называется Wason selection task.

[Solaris86]

Munin в сообщении #1328421 писал(а):

Просто чтобы нарисовать всё в одной таблице. Лень было делать отдельную таблицу из двух столбцов и двух строк.

Значит, в "не А" столбце должны быть 4 значения (по порядку значений А вашей таблицы): ложь, ложь, истина, истина. Верно?

Munin в сообщении #1328421 писал(а):

Никак не связаны. Но наблюдаемая истинность того, что рыба плавает, никак не противоречит существованию такой связи.

Вот если кто-то скажет "если мяч круглый, то рыба ходит", то ему ответят: "постойте, но ведь мяч же круглый, но рыба не ходит! Значит, неверно, что есть такая связь."

Я запутался. Я понимаю значение каждого утверждения в отдельности, но в упор не пойму значения импликации.
Давайте по всем 4м вариантам:
1. Если мяч круглый, то рыба плавает. Значение импликации: так как оба высказывания истинны, то и их причинно-следственная связь истинна, т.е. импликация - истина. Я верно трактую?
2. Если мяч круглый, то рыба ходит. Значение импликации: так как первое из высказываний истинно, а второе ложно, то их причинно-следственная связь ложна, т.е. импликация - ложь.
3. Если мяч квадратный, то рыба плавает. Значение импликации: так как первое из высказываний ложно, а второе истинно, то их причинно-следственная связь ложна, т.е. импликация - ложь. А в вышей таблице указано - истина. Вообще не ясно!
4. Если мяч квадратный, то рыба ходит. Значение импликации: так как оба высказывания ложны, то их причинно-следственная связь истинна, т.е. импликация - истина.

Munin в сообщении #1328421 писал(а):

Решите:
Nemiroff в сообщении #1058837

писал(а):
А азы логики это классика:
Цитата:

Перед вами на столе лежат четыре карты, каждая из которых имеет число с одной стороны и цветную рубашку с другой. Карты лежат в следующем порядке: 3, 8, красная, коричневая. Сколько и каких карт надо перевернуть, чтобы проверить истинность следующего утверждения: если на карте изображено чётное число, то рубашка у карты красная? Задача называется Wason selection task
.

Я думаю, надо перевернуть все 4 карты:
- первую карту "3", чтобы убедиться, что у неё рубашка не красная,
- вторую карту "8", чтобы убедиться, что у неё рубашка красная,
- третью красную карту, чтобы убедиться, что красной рубашке соответствует только число, а не картинка),
- четвёртую карту, чтобы убедиться, что коричневой рубашке не соответствует чётное число.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1328428 писал(а):

Значит, в "не А" столбце должны быть 4 значения (по порядку значений А вашей таблицы): ложь, ложь, истина, истина. Верно?

Да, можно было и так его заполнить.

Solaris86 в сообщении #1328428 писал(а):

3. Если мяч квадратный, то рыба плавает. Значение импликации: так как первое из высказываний ложно, а второе истинно, то их причинно-следственная связь ложна, т.е. импликация - ложь. А в вышей таблице указано - истина. Вообще не ясно!

Ну, грубо говоря, это определение возникло из попытки отобразить такое явление, что "рыба может плавать и по другим причинам, даже несмотря на то, что мяч на самом деле не квадратный".

Но всё-таки к этим логическим связкам следует сегодня относиться как к чисто формальным правилам вычисления истинности составного высказывания, из истинности отдельных частей.

Solaris86 в сообщении #1328428 писал(а):

Я думаю, надо перевернуть все 4 карты:
- первую карту "3", чтобы убедиться, что у неё рубашка не красная,

А если и будет красная, разве это плохо?

Solaris86 в сообщении #1328428 писал(а):

- вторую карту "8", чтобы убедиться, что у неё рубашка красная,

А если окажется не красная, чем это плохо?

Solaris86 в сообщении #1328428 писал(а):

- третью красную карту, чтобы убедиться, что красной рубашке соответствует только число, а не картинка),

Там будет число - по условию. Но оно может быть или чётным, или нечётным. Но вот что будет плохого, если там будет чётное число? Что будет плохого, если там будет нечётное число?

Solaris86 в сообщении #1328428 писал(а):

- четвёртую карту, чтобы убедиться, что коричневой рубашке не соответствует чётное число.

А если окажется чётное, чем это плохо?

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1328428 писал(а):

если на карте изображено чётное число, то рубашка у карты красная

вот мы утверждаем: если это человек, то у него два глаза.
тогда, если видим кого-то шестиглазого, то это точно не человек. но если мы видим кого-то двуглазого, то это тоже может быть и не человек, а например собака.

(Оффтоп)

В общем, запутают вас сейчас, мне уже тоже интересно стало как это все вывернет на производные и дифференциалы..

[Solaris86]

Munin в сообщении #1328429 писал(а):

Ну, грубо говоря, это определение возникло из попытки отобразить такое явление, что "рыба может плавать и по другим причинам, даже несмотря на то, что мяч на самом деле не квадратный".

Но всё-таки к этим логическим связкам следует сегодня относиться как к чисто формальным правилам вычисления истинности составного высказывания, из истинности отдельных частей.

Я посмотрел пару видосов по поводу импликации, думал, может там чего смогу понять, но лекторы сами плавают в попытке объяснить таблицу истинности для импликации, поэтому опять надо зубрить по умолчанию. Вот я сейчас вызубрю, а через какое-то время забуду...
Я когда-то давно пытался разобраться с необходимыми и достаточными условиями, в том числе и использовал эту статью: http://mathus.ru/math/iff.pdf
Сейчас вспомнил, что там была импликация и решил заодно разобраться и с импликацией (не хочу двигаться пока дальше, пока полностью не разберусь с таблицей истинности для импликации).
$A := \text{четырёхугольник является квадратом}$
$B := \text{четырёхугольник является ромбом}$
Импликация: $A \Rightarrow B := \text{если четырёхугольник является квадратом, то он является ромбом}$
Итак:
1. $A := \text{четырёхугольник является квадратом}$ - истинно
$B := \text{четырёхугольник является ромбом}$ - истинно
Импликация: $A \Rightarrow B := \text{если четырёхугольник является квадратом, то он является ромбом}$ - истинна
Тут всё ясно.
2. $A := \text{четырёхугольник является квадратом}$ - истинно
$B := \text{четырёхугольник является ромбом}$ - ложно
Импликация: $A \Rightarrow B := \text{если четырёхугольник является квадратом, то он является ромбом}$ - ложна
Тут я попробовал сделать так:
$\neg B := \text{четырёхугольник не является ромбом}$ - истинно
Импликация: $A \Rightarrow \neg B := \text{если четырёхугольник является квадратом, то он не является ромбом}$ - ложна
Сразу стало понятно, что вся эта связка ложна, т.к. квадрат всегда будет ромбом.
3. $A := \text{четырёхугольник является квадратом}$ - ложно
$B := \text{четырёхугольник является ромбом}$ - истинно
Импликация: $A \Rightarrow B := \text{если четырёхугольник является квадратом, то он является ромбом}$ - истинна
Попробовал сделать аналогично:
$\neg A := \text{четырёхугольник не является квадратом}$ - истинно
Импликация: $\neg A \Rightarrow B := \text{если четырёхугольник не является квадратом, то он является ромбом}$ - истинна
Всё равно неясно: не факт, что если четырёхугольник не квадрат, то он ромб, поэтому импликация должна быть ложной... А она истинна по таблице истинности.
4. $A := \text{четырёхугольник является квадратом}$ - ложно
$B := \text{четырёхугольник является ромбом}$ - ложно
Импликация: $A ⇒ B := \text{если четырёхугольник не является квадратом, то он не является ромбом}$ - истинна
Попробовал сделать аналогично:
$\neg A := \text{четырёхугольник не является квадратом}$ - истинно
$\neg B := \text{четырёхугольник не является ромбом}$ - истинно
Импликация: $\neg A \Rightarrow \neg B := \text{если четырёхугольник не является квадратом, то он не является ромбом}$ - истинна
Тоже непонятно: если четырёхугольник не квадрат, то он может спокойно оказаться ромбом, поэтому импликация ложна, но в таблице истинности она истинна...

В общем, опять запутался в трёх соснах, что я неверно понимаю про импликацию, где ошибка моих рассуждений?

Munin в сообщении #1328429 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1328428

писал(а):
Я думаю, надо перевернуть все 4 карты:
- первую карту "3", чтобы убедиться, что у неё рубашка не красная,
А если и будет красная, разве это плохо?

Да, красная рубашка не будет однозначно соответствовать четному числу.

Munin в сообщении #1328429 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1328428

писал(а):
- вторую карту "8", чтобы убедиться, что у неё рубашка красная,
А если окажется не красная, чем это плохо?

Тогда утверждение о том, что четному числу соответствует красная рубашка, будет ложно.

Munin в сообщении #1328429 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1328428

писал(а):
- третью красную карту, чтобы убедиться, что красной рубашке соответствует только число, а не картинка),
Там будет число - по условию. Но оно может быть или чётным, или нечётным. Но вот что будет плохого, если там будет чётное число? Что будет плохого, если там будет нечётное число?

Munin в сообщении #1328429 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1328428

писал(а):
- четвёртую карту, чтобы убедиться, что коричневой рубашке не соответствует чётное число.
А если окажется чётное, чем это плохо?

Стоп... До меня, кажется, начало доходить: я должен проверить 2 утверждения:
1) "если чётное число, то красная рубашка"
Для этого мне достаточно перевернуть всего одну карту "8" и убедиться, что там красная рубашка.
Проверять обратное суждение: "если красная рубашка, то чётное число" - меня не просили, поэтому переворачивать красную карту мне не надо.
Проверять, какой рубашке соответствует нечетное число, меня тоже не просили и какому числу соответствует коричневая рубашка, тоже.
Но мне важно, чтобы карте с коричневой рубашкой не соответствовало чётное число, поэтому второе утверждение для проверки:
2) "если рубашка коричневая, то число нечётное"; оно должно выполняться.
Итак, резюме для утверждений:
1) если число чётное, то ему соответствовать может ТОЛЬКО красная рубашка;
2) если рубашка красная, то ей соответствовать может ЛЮБОЕ число;
3) если число нечётное, то ему соответствовать может ЛЮБАЯ рубашка;
4) если рубашка коричневая, то ей соответствовать может ТОЛЬКО нечётное число.
Отсюда финальный ответ:
1. Перевернуть карту "8" и убедиться, что рубашка красная.
2. Перевернуть карту с коричневой рубашкой и убедиться, что там нечетное число.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1328460 писал(а):

Вот я сейчас вызубрю, а через какое-то время забуду...

Если будете зубрить и не использовать, то забудете. Если будете использовать постоянно, то даже без зубрёжки запомните железно.

Solaris86 в сообщении #1328460 писал(а):

не хочу двигаться пока дальше, пока полностью не разберусь с таблицей истинности для импликации

Вообще-то мне было бы достаточно, если бы вы разобрались с "и" и "или".

Solaris86 в сообщении #1328460 писал(а):

Да, красная рубашка не будет однозначно соответствовать четному числу.

Но ведь в вопросе не сказано, что красная рубашка должна однозначно соответствовать чётному числу. Она может соответствовать и чётным числам, и нечётным числам.

Solaris86 в сообщении #1328460 писал(а):

Отсюда финальный ответ:
1. Перевернуть карту "8" и убедиться, что рубашка красная.
2. Перевернуть карту с коричневой рубашкой и убедиться, что там нечетное число.

Да, это правильный ответ.

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1328460 писал(а):

2) "если рубашка коричневая, то число нечётное"; оно должно выполняться.

Да, но лучше его записать так: "Если рубашка не красная, то число нечётное", поскольку именно это следует из "Если число четное, то рубашка красная". Тогда становится понятно, что надо проверить
-- все видимые четные числа на предмет того, что под ними красные рубашки
-- все видимые НЕ красные рубашки на предмет того, под ними нечетные числа

[Solaris86]

Munin в сообщении #1328461 писал(а):

Вообще-то мне было бы достаточно, если бы вы разобрались с "и" и "или".

ОК, тогда пока отложу импликацию и остальные логические операции.

wrest в сообщении #1328464 писал(а):

Да, но лучше его записать так: "Если рубашка не красная, то число нечётное", поскольку именно это следует из "Если число четное, то рубашка красная". Тогда становится понятно, что надо проверить
-- все видимые четные числа на предмет того, что под ними красные рубашки
-- все видимые НЕ красные рубашки на предмет того, под ними нечетные числа

Да, верно. И правда, зачем ограничил цвета только коричневой рубашкой, когда там могут оказаться и другие не красные рубашки.

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1328466 писал(а):

Да, верно. И правда, зачем ограничил цвета только коричневой рубашкой, когда там могут оказаться и другие не красные рубашки.

Можно вывести еще пару утверждений:
"Под нечетным числом любая рубашка" -- тогда проверять нечетные числа не нужно, т.к. это заведомо выполняется.
"Под красной рубашкой любое число" -- тогда проверять красные рубашки не нужно, т.к. это заведомо выполняется.

[Solaris86]

wrest в сообщении #1328472 писал(а):

Можно вывести еще пару утверждений:
"Под нечетным числом любая рубашка" -- тогда проверять нечетные числа не нужно, т.к. это заведомо выполняется.
"Под красной рубашкой любое число" -- тогда проверять красные рубашки не нужно, т.к. это заведомо выполняется.

Можете сказать пару слов о импликации, где у меня ошибки в рассуждениях?
А с Munin будем пока продвигаться далее, чтобы не застревать на матлогике.

[Munin]

Вернёмся к предыдущей части разговора:

Solaris86 в сообщении #1328012 писал(а):

Munin в сообщении #1327995 писал(а):

Понимаете ли вы, что значит $\textit{ф}\in\text{Ф}$?

Фрукт ф принадлежит множеству Ф, причём фрукт ф может принимать 3 значения: $\text{ф}_1 = \text{яблоко}$, $\text{ф}_2 = \text{банан}$, $\text{ф}_3 = \text{груша}$

Munin в сообщении #1327995 писал(а):

Понимаете ли вы, что значит "существует некоторое $\textit{ф}\in\text{Ф}$"?
Понимаете ли вы, что значит "для всех $\textit{ф}\in\text{Ф}$"?
Понимаете ли вы, что значит "существует некоторое $\textit{ф}\in\text{Ф},$ такое что $\textit{ф}$ растёт в России"?
Понимаете ли вы, что значит "для всех $\textit{ф}\in\text{Ф},$ вкус $\textit{ф}$ сладкий"?

Не все из этих четырёх утверждений полностью понятны.
Первое утверждение: непонятно, что значит "некоторое"; это значит, что ф принимает одно (или яблоко, или банан, или груша) или два значения (или яблоко и банан, или банан и груша, или яблоко и груша) из трёх?
Второе утверждение: непонятно, что значит "для всех"; это значит, что ф принимает все три значения (яблоко, банан и груша)?

Вот сейчас я введу для вас понятия "для всех" и "существует".

Фраза "для всех $\textit{ф}\in\text{Ф},$ вкус спелого $\textit{ф}$ всегда сладкий" означает:

"(вкус спелого яблока всегда сладкий)
и (вкус спелого банана всегда сладкий)
и (вкус спелой груши всегда сладкий)"

Фраза "существует некоторое $\textit{ф}\in\text{Ф},$ такое что $\textit{ф}$ растёт в том числе и в России" означает:

"множество $\text{Ф}$ не пустое
и (

(яблоко растёт в том числе и в России)
или (банан растёт в том числе и в России)
или (груша растёт в том числе и в России)
)"

Верны ли эти утверждения?

Верны ли такие утверждения?

"для всех $x\in\{1,2,3\}$ неверно, что $x<3$"
"существует некоторое $x\in\{1,2,3\},$ такое что неверно, что $x<3$"
"неверно, что для всех $x\in\{1,2,3\}$ $x<3$"
"неверно, что существует некоторое $x\in\{1,2,3\},$ такое что $x<3$"

[wrest]

(Оффтоп)

Solaris86 в сообщении #1328473 писал(а):

Можете сказать пару слов о импликации, где у меня ошибки в рассуждениях?

Ну это такая немного заковыристая штука... Говорят, что из ложных предпосылок можно вывести что угодно. Поэтому по таблице истинности договорились так, что при ложной предпосылке истинным может быть какое угодно любое следствие. На примере задачи с картами вы это видели так:

Solaris86 в сообщении #1328460 писал(а):

3) если число нечётное, то ему соответствовать может ЛЮБАЯ рубашка;

То есть, если мы говорим что "Из А следует Б", то подразумеваем что "Из НЕ-А следует что угодно, в том числе и Б, В, Г и так далее." Но лучше, если Munin доведёт эту часть до какого-то конца. Вообще на мой взгляд тема как-то разветвилась и потеряла первоначальное направление, и теперь непонятно что вам непонятно.

[Solaris86]

Munin в сообщении #1328481 писал(а):

Верны ли эти утверждения?

Тут просто ошибка копипасты или мне надо проверить выше написанные утверждения?

Munin в сообщении #1328481 писал(а):

Фраза "для всех $\textit{ф}\in\text{Ф},$ вкус спелого $\textit{ф}$ всегда сладкий" означает:
"(вкус спелого яблока всегда сладкий)
и (вкус спелого банана всегда сладкий)
и (вкус спелой груши всегда сладкий)"
Фраза "существует некоторое $\textit{ф}\in\text{Ф},$ такое что $\textit{ф}$ растёт в том числе и в России" означает:
"множество $\text{Ф}$ не пустое
и (
(яблоко растёт в том числе и в России)
или (банан растёт в том числе и в России)
или (груша растёт в том числе и в России) )"

Или я неправильно понял?

Munin в сообщении #1328481 писал(а):

Верны ли такие утверждения?
"для всех $x\in\{1,2,3\}$ неверно, что $x<3$"
"существует некоторое $x\in\{1,2,3\},$ такое что неверно, что $x<3$"
"неверно, что для всех $x\in\{1,2,3\}$ $x<3$"
"неверно, что существует некоторое $x\in\{1,2,3\},$ такое что $x<3$"

Первое - верно, второе - верно, третье - верно, четвертое - неверно.

-- 24.07.2018, 12:22 --

wrest в сообщении #1328482 писал(а):

То есть, если мы говорим что "Из А следует Б", то подразумеваем что "Из НЕ-А следует что угодно, в том числе и Б, В, Г и так далее." Но лучше, если Munin доведёт эту часть до какого-то конца. Вообще на мой взгляд тема как-то разветвилась и потеряла первоначальное направление, и теперь непонятно что вам непонятно.

Теперь заголовок "Производная" напоминает маленькое кафе для своих внутри двора, где нет вывески: кто знает, тот зайдёт, а чужаков не надо
Да на самом деле много чего непонятно, но мне нужно чётко усвоить азы (чем сейчас и занимаемся), а дальше я сам всё буду навёрстывать.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1328484 писал(а):

Первое - верно, второе - верно, третье - верно, четвертое - неверно.

В первом у вас ошибка.