Кольца с некоммутативным сложением

[ellipse]

Почему в алгебре не рассматривают кольца с некоммутативным сложением. Чем они плохи? Какие есть примеры таких колец?

[iifat]

Подозреваю, не могут получить интересных результатов.

[stef]

$x+y+x+y=(1+1)(x+y)=x+x+y+y \rightarrow y+x=x+y$

[ellipse]

stef в сообщении #1328365 писал(а):

$x+y+x+y=(1+1)(x+y)=x+x+y+y \rightarrow y+x=x+y$

Но ведь есть кольца без единицы.

[Qlin]

Кольца всегда без единицы, если не оговорено противное.

[lek]

stef в сообщении #1328365 писал(а):

$x+y+x+y=(1+1)(x+y)=x+x+y+y$

Это двойное равенство не является обязательным. Любое из двух условий

$$ (a+b)(x+y)=ax+ay+bx+by,\qquad (a+b)(x+y)=ax+bx+ay+by $$

влечет дистрибутивность кольца.

Qlin в сообщении #1328368 писал(а):

Кольца всегда без единицы, если не оговорено противное.

В данном случае это не принципиально, единицу можно всегда присоединить.

[mihaild]

А без дистрибутивности получится просто произвольная бинарная операция, никак не связанная со сложением. Было бы очень странно если бы для нее удалось доказать какие-то интересные свойства.

[lek]

В принципе, можно ограничиться одним выписанным выше условием. Дистрибутивность будет следовать из него, а коммутативность - нет.

[vpb]

Вообще есть такие. По нашему они называются "почти кольца", по английски "nearrings" или "near rings". Гуглите.