несколько задач

[ewert]

AGu писал(а):

Тут просто квантор спрятан:
$\bigl((\forall\, X\subseteq Y)(X\text{ замкнуто}\Rightarrow X\text{ полно})\bigr)\Leftrightarrow(Y\text{ полно})$

Он никуда не спрятан, он просто подразумевается.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

...фундаментальность -- внутреннее свойство самой последовательности (т.е. определяется свойствами только её элементов и ничем иным). Для сходимости же требуется наличие некоего "внешнего" по отношению к последовательности элемента (предельной точки); и это, разумеется, зависит от выбора подмножества, в котором мы работаем.

Фундаментальность --- тоже не совсем "внутреннее" свойство. На одном и том же множестве, из которого берутся члены последовательности, можно задать две разных метрики, в одной из которых последовательность будет фундаментальна, а в другой нет.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Фундаментальность --- тоже не совсем "внутреннее" свойство. На одном и том же множестве, из которого берутся члены последовательности, можно задать две разных метрики, в одной из которых последовательность будет фундаментальна, а в другой нет.

В текущем обсуждении подразумевается, что метрика фиксирована.

[Cave]

ewert
Да, я именно про тот квантор, который AGu добавил в утверждение.
Я-то понял о чём речь, а вот Spook, видимо, запутался, и справедливо спросил: разве не может быть замкнутого и полного как пространство подмножества в неполном $Y$?
Теперь, будем надеяться, это прояснено.

AGu
Да, тогда всё верно, конечно.

[AGu]

Профессор Снэйп писал(а):

На одном и том же множестве, из которого берутся члены последовательности, можно задать две разных метрики, в одной из которых последовательность будет фундаментальна, а в другой нет.

Кстати, веселое упражнение: помимо классической метрики $\rho_1(x,y)=|x-y|$ на $\mathbb R$ указать такую метрику $\rho_2$, что сходимости в $\rho_1$ и $\rho_2$ совпадают (т.е. метрики $\rho_1$ и $\rho_2$ топологически эквивалентны), но $\mathbb R$, будучи, как известно, полным относительно $\rho_1$, не является таковым относительно $\rho_2$.

Таким образом, бывает так: $\rho_1$ и $\rho_2$ -- метрики на $X$, причем $(X,\rho_1)$ полно, $(X,\rho_2)$ неполно, но для любой последовательности $(x_n)$ элементов $X$ и любого $x\in X$ соотношения $\rho_1(x_n,x)\to0$ и $\rho_2(x_n,x)\to0$ равносильны.

Такого рода примеры показывают, что полнота (и фундаментальность) -- понятие не топологическое. Без метрики или какого-то ее аналога тут не обойтись. (Аналогом метрики в данном случае может послужить так называемая равномерность.)

[ewert]

AGu писал(а):

Кстати, веселое упражнение: помимо классической метрики $\rho_1(x,y)=|x-y|$ на $\mathbb R$ указать такую метрику $\rho_2$, что сходимости в $\rho_1$ и $\rho_2$ совпадают (т.е. метрики $\rho_1$ и $\rho_2$ топологически эквивалентны), но $\mathbb R$, будучи, как известно, полным относительно $\rho_1$, не является таковым относительно $\rho_2$.

Ну, достаточно непрерывно отобразить $\mathbb R$ на ограниченный (или полуограниченный) открытый интервал и задать на последнем естественную метрику.

[Spook]

Agu, ewert я сразу немного не разобрался в ваших утверждениях, но теперь, кажется, понял.

Cave писал(а):

ewert
Я полагаю, что всё-таки верность первого утверждения второй эквивалентности для всех $X$ - подмножеств $Y$ равносильна полноте $Y$. Ведь для произвольного $X$ могут быть выполнены обе части первой эквивалентности, а, значит, и она сама, и при неполном $Y$.

AGu
Последовательность, сходящаяся в $X$ (у Вас оно объемлющее пространство, в отличие от ewert'а), может и не лежать в $Y$ - произвольном подмножестве $X$, поэтому утверждение о том, что она в $Y$ фундаментальна, весьма странно.
Или я что-то не так понял?

Cave, как Вы точно всё подметили! Примерно здесь я сначала и "завис".

Cave писал(а):

Я-то понял о чём речь, а вот Spook, видимо, запутался, и справедливо спросил: разве не может быть замкнутого и полного как пространство подмножества в неполном $Y$?
Теперь, будем надеяться, это прояснено.

Прояснено. Такое пространство может существовать.

Теперь я прозрел Спасибо всем помогавшим!
По-моему, понял где у меня были ошибки. В трактовке понятия предельный элемент. Когда мы говорим о замкнутости, то надо уточнять по отношению к чему, например, $\mathbb{Q}$ замкнуто в $\mathbb{Q}$, но не замкнуто в $\mathbb{R}$. В отличие от полноты, которая не зависит от объемлющего пространства. Соответственно, если фундаментальная последовательность сходится в объемлющем пространстве, а в подпространстве - нет, то это подпространство не замкнуто в исходном объемлющем. В то время, если такая последовательность не сходится в объемлющем пространстве, а все сходящиеся последовательности сходятся и в подпространстве, то это подпространство замкнуто в исходном объемлющем, но не замкнуто, например, в пополнении объемлющего пространства.
Хотел бы уточнить такой момент. Здесь упоминались как подмножества, так и подпространства. Подпространство - это такое подмножество, которое является еще и линейным пространством?

Теперь встает такой вопрос. Можно ли как-нибудь без перебора определить неполноту пространства в общем случае? Я хочу сказать, что, например, неполноту пространства $\mathbb{Q}$ можно доказать так: $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=e$. В данном случае нам известно пространство, которому принадлежит этот элемент и связь этих двух пространств. А если это не известно? Тогда же мы не сможем посчитать предел последовательности (перебрать все элементы данного пространства, если в нем их много, возможности нет). Что тогда делать?

P.S. Pyphagor, есть ЛС, я не хочу получить из-за Вас предупреждение.

[ewert]

Spook писал(а):

Хотел бы уточнить такой момент. Здесь упоминались как подмножества, так и подпространства. Подпространство - это такое подмножество, которое является еще и линейным пространством?

Нет особого смысла уточнять, это -- исключительно вопрос терминологии. "Подпространство" -- это подмножество, снабжённое той же структурой, что и внешнее пространство. Если там была лишь линейность, то и подпространство подразумевается линейным; если была ещё и нормированность, то и для подпространства как-то так традиционно подразумевается дополнительно замкнутость.