Производная

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

Пусть есть объект, который движется со некоторой скоростью из пункта A в пункт В,

Тут уместно упомянуть что траектория - прямая (отрезок), то есть движется объект по прямой.

-- 17.07.2018, 08:42 --

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

$\Delta S$ - некоторое приращение пути за приращение времени $\Delta t$

Раз это функция двух переменных, то и записать, на мой взгляд, было бы яснее так. $\Delta S(t,\Delta t)=S(t+\Delta t)-S(t)$
В сторону замечу, что пройденный путь и перемещение это разные величины. Если объект из точки А съездил по прямой в точку В и вернулся обратно, то пройденный путь будет $2AB$ а перемещение будет ноль.

-- 17.07.2018, 08:47 --

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

$V_\text{ср.}$ - общее обозначение средней скорости

Тут надо иметь в виду, что средняя скорость имеет смысл только при указании начала и конца промежутка, на котором производится усреднение.

-- 17.07.2018, 08:57 --

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

- зависимая переменная, варианты обозначения:
1) $S_A_B = S_A_B(t)$
2) $S_A_B = S_A_B(t_A_B)$

Тут на самом деле $S_{AB}=S(t_B)-S(t_A)$
Но если объект двигается из $A$ в $B$ по прямой и никогда не разворачивается (то есть его скорость не меняет знак) то $S_{AB}$ не зависит от движения объекта и равно просто расстоянию между точками.

-- 17.07.2018, 09:07 --

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

$t_A_B$ - независимая переменная, варианты обозначения:
1) $t_A_B = t_A_B(t)$
2) $t_A_B = t_A_B(t_A_B)$

Очевидно, время движения между точками зависит от расстояния между ними и скорости. Ну и как и в предыдущем случае, $t_{AB}=t_B-t_A$


Итого, $V_{\text{ср }AB}=\dfrac{S(t_B)-S(t_A)}{t_B-t_A}$

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

2. $V_\text{ср.} = \frac {\Delta S}{\Delta t}$
$V_\text{ср.}$ - зависимая переменная, варианты обозначения:
1) $V_\text{ср.} = V_\text{ср.} (S, t)$
2) $V_\text{ср.} = V_\text{ср.} (\Delta S, \Delta t)$
3) $V_\text{ср.} = V_\text{ср.} (S,\Delta S,t,\Delta t)$

Я бы сказал что тут правильно скорее 2), с учетом того, $\Delta S=S(t+\Delta t)-S(t)$

-- 17.07.2018, 09:43 --

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

$\Delta S$ - зависимая переменная, варианты обозначения:
1) $\Delta S = \Delta S(t)$
2) $\Delta S = \Delta S(\Delta t)$
3) $\Delta S = \Delta S(t,\Delta t)$

Здесь правильно 3) потому что приращение пути зависит от начальной точки и приращения времени.

-- 17.07.2018, 09:45 --

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

$\Delta t$ - независимая переменная, варианты обозначения:
1) $\Delta t = \Delta t(t)$
2) $\Delta t = \Delta t(\Delta t)$
3) $\Delta t = \Delta t(t,\Delta t)$

Здесь тоже правильно скорее 3)

-- 17.07.2018, 09:46 --

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

Итог: варианты обозначения:
1) $V_\text{ср.} (S, t) = \frac {\Delta S(t)}{\Delta t(t)}$
2) $V_\text{ср.} (\Delta S, \Delta t) = \frac {\Delta S(\Delta t)}{\Delta t(\Delta t)}$
3) $V_\text{ср.} (S,\Delta S, t,\Delta t) = \frac {\Delta S(t,\Delta t)}{\Delta t(t,\Delta t)}$

И здесь правильнее 3)

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Междисциплинарный раздел»
Причина переноса: пожалуй, со временем тема перестала быть чисто математической.

[wrest]

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

3. $V_\text{мгн.} = \frac {dS}{dt}$
$V_\text{мгн.}$ - зависимая переменная, варианты обозначения:
1) $V_\text{мгн.} = V_\text{мгн.} (S, t)$
2) $V_\text{мгн.} = V_\text{мгн.} (\Delta S, \Delta t)$
3) $V_\text{мгн.} = V_\text{мгн.} (S,\Delta S,t,\Delta t)$
$dS$ - зависимая переменная, $dS = dS(t,\Delta t)$
$dt$ - независимая переменная, $dt = dt(t,\Delta t)$
Итог: варианты обозначения:
1) $V_\text{мгн.} (S, t) = \frac {dS(t,\Delta t)}{dt(t,\Delta t)}$
2) $V_\text{мгн.} (\Delta S, \Delta t) = \frac {dS(t,\Delta t)}{dt(t,\Delta t)}$
3) $V_\text{мгн.} (S,\Delta S,t,\Delta t) = \frac {dS(t,\Delta t)}{dt(t,\Delta t)}$

Ну по сути как вы знаете мгновенная скорость это предел отношения приращений пройденного пути и времени при стремлении приращения времени к нулю, то есть $V_\text{мгн.}(t)=\lim \limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{\Delta S(t,\Delta t)}{\Delta t(t,\Delta t)}$. Так что мгновенная скорость не зависит от приращения времени -- оно считается бесконечно малым, и таким образом мгновенная скорость является только функцией времени.
Поскольку дифференциал это линейная часть приращения, то отношение дифференциалов (напоминаю что сами дифференциалы -- это НЕ бесконечно малые величины) от приращения не зависит и можно записать
4) $V_\text{мгн.} (t) = \frac {dS(t,\Delta t)}{dt(t,\Delta t)}$

-- 17.07.2018, 10:04 --

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

4. $V_\text{мгн.}_0 = \frac {d_t_0S}{d_t_0t}$
$V_\text{мгн.}_0$ - зависимая переменная, варианты обозначения:
1) $V_\text{мгн.}_0 = V_\text{мгн.} (S, t)$
2) $V_\text{мгн.}_0 = V_\text{мгн.} (S_0, t_0)$
3) $V_\text{мгн.}_0 = V_\text{мгн.} (\Delta S, \Delta t)$
4) $V_\text{мгн.}_0 = V_\text{мгн.} (S,\Delta S,t,\Delta t)$
5) $V_\text{мгн.}_0 = V_\text{мгн.} (S_0,\Delta S,t_0,\Delta t)$
$d_t_0S$ - зависимая переменная, $d_t_0S = d_t_0S(t_0,\Delta t)$
$d_t_0t$ - независимая переменная, $d_t_0t = d_t_0t(t_0,\Delta t)$
Итог: варианты обозначения:
1) $V_\text{мгн.} (S, t) = \frac {d_t_0S(t_0,\Delta t)}{d_t_0t(t_0,\Delta t)}$
2) $V_\text{мгн.} (S_0, t_0) = \frac {d_t_0S(t_0,\Delta t)}{d_t_0t(t_0,\Delta t)}$
3) $V_\text{мгн.} (\Delta S, \Delta t) = \frac {d_t_0S(t_0,\Delta t)}{d_t_0t(t_0,\Delta t)}$
4) $V_\text{мгн.} (S,\Delta S,t,\Delta t) = \frac {d_t_0S(t_0,\Delta t)}{d_t_0t(t_0,\Delta t)}$
5) $V_\text{мгн.} (S_0,\Delta S,t_0,\Delta t) = \frac {d_t_0S(t_0,\Delta t)}{d_t_0t(t_0,\Delta t)}$

Ну здесь я бы тоже дополнил вариантом
6) $V_\text{мгн.} (t_0) = \frac {dS(t_0,\Delta t)}{dt(t_0,\Delta t)}$
поскольку мгновенная скорость в момент времени $t_0$ не зависит от приращения времени и приращения пути, а только от их отношения. При определении мгновенной скорости приращения считаются бесконечно малыми и важно лишь их отношение, поэтому справа мы $\Delta$ формально можем записать, хотя и знаем что из-за линейности, от $\Delta$ отношение приращений не зависит -- они сокращаются ибо $dS(t_0,\Delta t)=A(t_0)\cdot \Delta t; dt(t_0, \Delta t)=\Delta t; \dfrac{dS(t_0, \Delta t}{dt(t_0, \Delta t)}=\dfrac{A(t_0)\cdot \Delta t}{\Delta t}=A(t_0)$, ну а $A(t_0)$ называется "производная функции пройденного пути по времени", так что мгновенная скорость в момент ("мгновение") $t_0$ равна этой производной, $V_\text{мгн.} (t_0) = A(t_0)=S'(t_0)$ а поскольку мы предполагаем что объект движется плавно и значит производная везде существует, то просто полагаем $V_\text{мгн.} (t) = S'(t)=\dfrac{dS(t, \Delta t)}{dt(t, \Delta t)}$
Поскольку как выше указано, отношение дифференциалов в каждой конкретной точке от $\Delta t$ не зависит (а зависит только от точки), то запись упрощают до
$V(t) = S'(t)=\dfrac{dS(t)}{dt}$ а иногда применяют вариант $V(t)=\dfrac{d}{dt}S(t)$ чтобы показать что $\dfrac{d}{dt}$ это слитный, единый символ взятия производной.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

Пусть есть объект, который движется со некоторой скоростью из пункта A в пункт В, расстояние между которыми проходится за некоторое время.
Обозначения:
$S$ - общее обозначение пути
$S_A_B$ - конкретный путь, равный расстоянию между пунктами A и B
$\Delta S$ - некоторое приращение пути за приращение времени $\Delta t$
$S_0$ - величина пройденного пути на момент времени $t_0$
$dS$ - дифференциал пути
$d_t_0S$ - дифференциал пути в момент времени $t_0$
$t$ - общее обозначение времени
$t_A_B$ - конкретное время, за которое было пройдено расстояние между пунктами A и B
$\Delta t$ - некоторое приращение времени
$t_0$ - некоторый момент времени
$dt$ - дифференциал времени
$d_t_0t$ - дифференциал времени в момент времени $t_0$
$V_\text{ср.}$ - общее обозначение средней скорости
$V_\text{ср.}_A_B$ - конкретная средняя скорость, было пройдено расстояние между пунктами A и B
$V_\text{мгн.}$ - общее обозначение мгновенной скорости
$V_\text{мгн.}_0$ - конкретная мгновенная скорость в момент времени $t_0$

Это всё хорошая попытка, но всё это надо выкинуть к чертям.

Начать надо с физической ситуации. Рассмотрим движение точки, вдоль одной линии, и при этом неравномерное (но монотонное). С этими оговорками, можно сопоставить физической ситуации математическую модель.

Далее, математическая модель такого движения. Возьмём за параметр время $t.$ Всё движение происходит на каком-то промежутке времени $t\in[t_A,t_B].$

Само движение описывается функцией $s(t).$ Это очень важно: разобраться, где у вас отдельные числа, а где функции. Число - это не то же самое, что "постоянная". Постоянная функция - это тоже функция, но такая, которая принимает одно и то же значение. А число не является функцией, в него нельзя подставить какой-то аргумент. Только постоянные функции имеют право обозначаться $\mathrm{const}.$

Замечание по нотации. Довольно часто одни и те же вещи обозначаются по-разному. Реже в математике, и чаще в физике. Это нормально, но за этим надо следить. Недопустимо другое: чтобы разные вещи обозначались одинаково. Впрочем, такое тоже бывает, если по контексту понятно, какой смысл имеется в виду.

Например, функцию $s(t)$ очень часто обозначают в физике просто $s,$ чтобы не громоздить обозначений. Отдельные значения этой функции тоже можно называть какими-то специальными значками, например, $s(t_0)=s_0.$

В этом разделе математики есть одно "неудачное" обозначение, когда одинаково обозначаются разные вещи. А именно, $s(t)$ может обозначать целиком всю функцию, если буква $t$ не фиксирована в каком-то значении, а остаётся просто переменной. Но если где-то начали говорить о каком-то конкретном моменте $t,$ то это же обозначение $s(t)$ будет обозначать одно конкретное число - то значение функции, которое она принимает в этот момент, при этом аргументе.


И совсем мелкое замечание. Большие буквы $S,V,T$ выглядят "по-школьному". Принято для пути, скорости и времени использовать маленькие буквы $s,v,t,$ потому что в физике бывает площадь, объём, период, энтропия, температура и так далее. Иногда пишут большую букву, если маленькая уже занята.

Итак, пока математическая модель состоит из:

$t,$ лежащей в промежутке $[t_A,t_B]$;
$s(t),$ принимающей значения в промежутке $[0,s_{AB}],$ причём $s(t_A)=0,\quad s(t_B)=s_{AB}.$

И всё, достаточно, не надо городить лишнего. Зато видно, что с чем как связано.

Теперь можно от этой функции взять производную (мы считаем, что функция дифференцируема всюду на промежутке), и обозначить её новой функцией:

$v(t)=s'(t)=\dfrac{ds}{dt}$

Внимание: здесь не вводятся никакие обозначения $ds,dt$! Здесь используется обозначение производной "по Лейбницу" $\dfrac{d\ldots}{d\ldots}.$

Здесь пока всё понятно?

Отдельно, можно посчитать число (из других чисел)

$v_\text{cp}=\dfrac{s_{AB}-0}{t_B-t_A}.$

Здесь всё понятно?

На этом пока остановимся, потому что здесь всё должно быть кристально ясно, и без лишних обозначений, без суеты и без путаницы.

[Walker_XXI]

Цитата:

3) $\Delta S = \Delta S(t,\Delta t)$

Отмечу (для этой и всех подобных формул), что подобная запись не принята, хотя формально и может быть верной. Во-первых, это совершенно лишнее и ничего не добавляет к пониманию, когда ясна суть описываемого процесса. Во-вторых, с физической точки зрения это может оказаться ошибочным, поскольку реально $\Delta S$ может зависеть от многих существенных параметров.

-- 17.07.2018, 12:27 --

wrest в сообщении #1327207 писал(а):

Тут уместно упомянуть что траектория - прямая (отрезок), то есть движется объект по прямой.

Совсем не обязательно. Понятие средней скорости имеет смысл и для криволинейной траектории, включая случаи реверсивного движения на отдельных участках траектории.

-- 17.07.2018, 12:30 --

wrest в сообщении #1327214 писал(а):

Solaris86 в сообщении #1327191 писал(а):

$\Delta t$ - независимая переменная, варианты обозначения:
1) $\Delta t = \Delta t(t)$
2) $\Delta t = \Delta t(\Delta t)$
3) $\Delta t = \Delta t(t,\Delta t)$

Здесь тоже правильно скорее 3)

Скорее все три записи говорят о непонимании, что такое независимая переменная, и что такое дельта.

[wrest]

Munin в сообщении #1327244 писал(а):

$s(t),$ принимающей значения в промежутке $[0,s_{AB}],$ причём $s(t_A)=0,\quad s(t_B)=s_{AB}.$ И всё, достаточно, не надо городить лишнего. Зато видно, что с чем как связано.

Solaris86
В процитированном выше имейте в виду, что запись справедлива когда движение монотонное. О монотонности у Munin написано ранее, но именно тут монотонность очень важна: точка двигается только в одном направлении, никогда не двигается обратно, поэтому пройденный точкой путь всегда равен перемещению точки. В задачах типа "камень подкинули вертикально, определите пройденный путь" неучет монотонности\не монотонности является источником ошибок.

Solaris86
Для справки. "Параметр", как его употребил выше Munin во фразе "Возьмём за параметр время $t.$ " это синоним "независимой переменной", приращение которой равно её дифференциалу.

[Walker_XXI]

wrest в сообщении #1327222 писал(а):

Ну здесь я бы тоже дополнил вариантом
6) $V_\text{мгн.} (t_0) = \frac {dS(t_0,\Delta t)}{dt(t_0,\Delta t)}$

Поясните, пожалуйста, какова зависимость производной (мгновенной скорости) от $\Delta t$? По-моему, Вы попали под влияние ТС и немного увлеклись комбинированием символов, не задумываясь о смысле формул.

[wrest]

Walker_XXI в сообщении #1327255 писал(а):

Поясните, пожалуйста, какова зависимость производной (мгновенной скорости) от $\Delta t$?

Никакой, я же ясно написал:

wrest в сообщении #1327222 писал(а):

мгновенная скорость в момент времени $t_0$ не зависит от приращения времени и приращения пути, а только от их отношения. При определении мгновенной скорости приращения считаются бесконечно малыми и важно лишь их отношение, поэтому справа мы $\Delta$ формально можем записать, хотя и знаем что из-за линейности, от $\Delta$ отношение приращений не зависит -- они сокращаются ибо $dS(t_0,\Delta t)=A(t_0)\cdot \Delta t; dt(t_0, \Delta t)=\Delta t; \dfrac{dS(t_0, \Delta t}{dt(t_0, \Delta t)}=\dfrac{A(t_0)\cdot \Delta t}{\Delta t}=A(t_0)$

[Walker_XXI]

wrest в сообщении #1327256 писал(а):

Никакой, я же ясно написал:

Так может тогда сразу не писать эту дельту и вообще вспомнить, что $dS/dt$ - это просто обозначение производной? А то можно дойти до абсурда:

wrest в сообщении #1327222 писал(а):

$dt(t_0, \Delta t)=\Delta t$

Давайте сразу в скобки после $t_0$ впишем весь латинский алфавит со всевозможными комбинациями нижних индексов?

[wrest]

(Walker_XXI)

Walker_XXI в сообщении #1327255 писал(а):

По-моему, Вы попали под влияние ТС и немного увлеклись комбинированием символов, не задумываясь о смысле формул.

От приращения зависит дифференциал, когда мы рассматриваем запись $V_\text{мгн.} (t_0) = \frac {dS(t_0,\Delta t)}{dt(t_0,\Delta t)}$ именно как частное дифференциалов, то каждый из дифференциалов зависит от приращения (дифференциал времени и есть его приращение), но их частное от приращений уже не зависит. Смысл тут очень простой: когда дойдет дело до вторых производных и потом до частных и смешанных частных производных, надо будет об этом вспомнить.

Walker_XXI в сообщении #1327258 писал(а):

wrest в сообщении #1327256 писал(а):

Никакой, я же ясно написал:

Так может тогда сразу не писать эту дельту и вообще вспомнить, что $dS/dt$ - это просто обозначение производной? А то можно дойти до абсурда:

wrest в сообщении #1327222 писал(а):

$dt(t_0, \Delta t)=\Delta t$

Давайте сразу в скобки после $t_0$ впишем весь латинский алфавит со всевозможными комбинациями нижних индексов?

Ну во-первых $dS/dt$ это отношение дифференциалов, а производная обозначается например штрихом, $S'(t)$.
Смысл этой темы в том, чтобы сначала писать дельту, потом убедиться что писать необязательно (но можно было бы). Источник проблем в понимании темы производная - дифференциал - приращение как раз в том, как мне кажется, что "правильная" запись приращения, которое есть функция двух переменных, упоминается где-то в начале и вскользь, а потом по умолчанию применяется сокращенная "очевидная" запись, а люди ж забывают "истинное" значение "очевидной" записи, если на это не обратить особое внимание. Поэтому здесь мы сперва пишем дифференциалы как функции двух переменных.

[Walker_XXI]

Munin в сообщении #1327244 писал(а):

Рассмотрим движение точки, вдоль одной линии, и при этом неравномерное (но монотонное).

Кстати, как я отмечал, условие монотонности тоже не является достаточно жёстким. Жизненный пример: в поездке на автомобиле я могу изредка включать задний ход при маневрировании, объезде препятствий (пробок), однако это не мешает говорить о средней скорости поездки.

-- 17.07.2018, 12:58 --

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1327259 писал(а):

Смысл тут очень простой: когда дойдет дело до вторых производных и потом до частных и смешанных частных производных, надо будет об этом вспомнить.

Чего вспоминать-то? С одной стороны, приращение явно входит в определение производной, а с другой - при применении формальных правил дифференцирования помнить о приращениях вообще нет нужды. Я против неоправданной избыточности в обозначениях и тем более глупостей типа $t(t)$ или $\Delta t(\Delta t)$.

-- 17.07.2018, 13:05 --

wrest в сообщении #1327253 писал(а):

В процитированном выше имейте в виду, что запись справедлива когда движение монотонное. О монотонности у Munin написано ранее, но именно тут монотонность очень важна: точка двигается только в одном направлении, никогда не двигается обратно, поэтому пройденный точкой путь всегда равен перемещению точки.

C одной стороны, забыли упомянуть о прямолинейности (что, вообще говоря, сводит задачу к тривиальной и неинтересной), иначе последнее Ваше утверждение не будет верным. С другой, гораздо важнее понимать суть процесса и цели вычисления его характеристик (той же средней скорости). В зависимости от этого ошибочной может оказаться средняя скорость, найденная как отношение пути к затраченному времени, а правильной - отношение перемещения к затраченному времени. Подчеркну: всё зависит от того, как мы потом собираемся использовать найденную среднюю скорость.

Впрочем, мне кажется, пора уже посмотреть на реакцию автора темы. Может его волнуют совсем другие моменты.

[wrest]

(Walker_XXI)

Walker_XXI в сообщении #1327260 писал(а):

Я против неоправданной избыточности в обозначениях и тем более глупостей типа $t(t)$ или $\Delta t(\Delta t)$.

Обозначение типа $t(t)$ и $t'(t)=1$ это временно, для усвоения темы. Потом от него можно избавиться. К слову, Фихтенгольц (3-томник, параграф 104, между формулами (4) и (5)) тоже так примерно пишет, у него можно найти запись $dx=x_x'\cdot \Delta x = 1 \cdot \Delta x = \Delta x$

Walker_XXI в сообщении #1327260 писал(а):

C одной стороны, забыли упомянуть о прямолинейности (что, вообще говоря, сводит задачу к тривиальной и неинтересной)

Я упоминал:

wrest в сообщении #1327207 писал(а):

Тут уместно упомянуть что траектория - прямая (отрезок), то есть движется объект по прямой.

Munin тоже упоминал.

Munin в сообщении #1327244 писал(а):

Рассмотрим движение точки, вдоль одной линии,

Так что вы уж читайте целиком, что ли ;)

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1327262 писал(а):

Так что вы уж читайте целиком, что ли ;)

Ладно, уговорили

Solaris86, касательно Ваших надежд с помощью теорфизики вообще и квантовой механик в частности раз и навсегда строго установить причины всех болезней и механизмы действия лекарств посмотрите тему topic128535.html

[Munin]

Walker_XXI в сообщении #1327260 писал(а):

Кстати, как я отмечал, условие монотонности тоже не является достаточно жёстким.

Это следующий разговор. Когда человек поймёт хоть одну простую математическую модель, можно будет сообщить, что физика одновременно работает со многими моделями, видит соотношения между ними, "общее-частное", область применимости, точность учёта разных факторов, и пренебрежения с упрощениями.