Всем спасибо за помощь! Сейчас всё перечитал и вот что есть из понимания и непонимания на данный момент.
1.
Это не функция, это обозначение.
Я понял, что это обозначение, но не ясно, почему нелинейную часть приращения функции нельзя считать функцией от приращения аргумента?!
Ещё раз, это не функция!!!
Это всего лишь обозначение, что "

стремится к 0 быстрее, чем

".
Но на оси OY эта "нефункция" имеет свой отрезок... Что это тогда?
2.
Подразумевается, что

в выражении

это тождественная функция, а не переменная. Правильнее

или

. Тогда пришлось бы явно указать где

определена. В «правильном» определении вошли бы дополнительно две буквы:

и

Тут совсем неясно, с этими id я вообще не знаком. Буду признателен, если подскажете, в каком разделе математики можно изучить эти обозначения.
3.
или что найдется

такое, что

. Поэтому подставлять

можно только после того, как выбрана

Тут имеется в виду, что альфа - это б.м.ф.?
4.
Да тут в этом определении
Solaris86 в сообщении #1325446
писал(а):
функцию в окрестности

можно представить в виде
просто упущена концовка. В таких равенствах с о-малыми всегда через запятую надо указывать базу, в данном случае,

. Указание базы, по-моему, как раз и отбивает желание подставлять конкретные

(по крайней мере внутрь значка

).
О какой базе идёт речь, в каком разделе математики про это почитать?
5.
Solaris86 в сообщении #1326380
писал(а):
Вообще, о-функция - это вариант б.м.ф. или нет?
Не обязательно (обоснуйте). Но бесконечно малую функцию можно записать в виде

. Обоснуйте, почему.
Вроде готов рискнуть предположить.
О-функция является б.м.ф. при условии:

и не является б.м.ф. в остальных случаях.
Б.м.ф., например,

можно записать в виде

, т.е.

при условии, что

и

. Это возможно потому, что 1 - это константа, она не убывает или иными словами скорость убывания равна 0, поэтому любая другая функция, не являющаяся константой, всегда будет убывать быстрее.
6.

— это самый нормальный дифференциал

, если не забывать, что сама

является переменной, от которой мы рассматриваем тут функции. Этот дифференциал (как и другие!) является функцией двух переменных —

и

, но от

он не зависит никак и равен просто

. В этом смысле

, хотя точнее будет писать, конечно, что

. Этого обычно не пишут, или пишут лишь единожды за всё изложение, потому что это и так ясно из определения дифференциала, и, кроме того, это вынуждает нас вводить какое-то обозначение для переменной-приращения. Так что

использовать удобнее.
Solaris86 в сообщении #1326486
писал(а):
Что же такое дифференциал, стало совсем неясно.
... это линейная часть приращения

Если прирастает независимая переменная

, то считается, что прирастает она в принципе линейно всегда и везде и поскольку

то

и получается что

для любых значений

А вот прирост зависимой переменной уже зависит от двух параметров: от значения независимой переменной в той точке, откуда считают прирост, и от прироста независимой переменной. Кроме того, этот прирост зависимой переменной искусственно разделяют на линейную и нелинейную части, и вот линейную часть, то есть прямо пропорциональную приросту независимой переменной, называют дифференциалом независимой переменной:

Эти два сообщения дали ответ на вопрос о приравнивании приращения аргумента к дифференциалу аргумента.
Объединяя информацию из двух сообщений, я понял так:

; 2 вида записи:

- развернутая запись,

- сокращённая запись.

; 2 вида записи:

- развернутая запись,

- сокращённая запись.
Не понял, с какой целью были использованы знаки тождественного равенства в выражениях:

и

.
Ещё вопрос: можно ли дифференциал считать оператором?
7.
А слова, что "

- бесконечно малое приращение", выкиньте из головы.
Так вот на картинке нет никаких бесконечно малых.

может быть любым -- и большим и малым. Соответственно и

может быть как большим так и малым.
Итак, я понял следующее:
1) дифференциал функции или аргумента - это линейная часть приращения функции или аргумента соответсвенно
2) дифференциал функции или аргумента - это конечная величина, могущая принимать любые значения:

и
Я так понял, что Munin негодовал именно по поводу того, что я брал бесконечную величину, во-первых, да еще и только малую, во-вторых...
Значит, моё предположение, что дифференциал - это числовой ряд, неверно.
8.
Ну вот вы выделяете постоянную часть функции

, а именно

, потом линейную часть: выделили, назвали её

. Если вы теперь хотите записать, что

, то этим чем-то как раз и окажется

.
Предположим, что Вам известно, что

, где

— некоторое число. Пожалуйста, найдите

, пользуясь непосредственно определением производной. Если и после этого не поймёте, зачем это условие, то я уж и не знаю, как Вам помочь.
Что совсем непонятно, так это обозначение

... Наверно, имелось в виду

всё-таки


Кажется, прояснилось: если в числителе слагаемого

будет б.м.ф. того же или большего порядка, что и б.м.ф.

в знаменателе, то предел будет не 0, а либо конечно число, либо бесконечность... Тут единственная проблема: мне не представить функцию, у которой предел второго слагаемого будет конечное число или бесконечность. Я понимаю, что они должна быть недифференцируема вообще, но что это за функция, пока неясно.