2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 15  След.
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 13:59 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Solaris86 в сообщении #1326486 писал(а):
Я не понял, тут не хватает $f(x)$: $f(x + \Delta x) - f(x)= A\Delta x + \text{что-то}$ или это что-то другое имеется в виду?
Да, я забыл вписать постоянное слагаемое. Сейчас вставлю назад. В результате получается сумма постоянного, линейного и чего-то более высокого порядка — совершенно логичное разложение.

Solaris86 в сообщении #1326486 писал(а):
А чем треугольная дельта не устраивает и почему она не подходит для более широкого применения (и какого именно)?
Дельта это вообще просто соглашение в обозначении переменных, она о другом. Какого именно — ну вас уже ведь ссылали на символы Ландау, все эти о-малые, о-большие, омеги и прочие, они образуют довольно удобную систему для разговоров о поведении функций при некоторой базе: удобную тем, что ненужные детали не мешаются под ногами. Чем меньше имён приходится вводить перед рассмотрением, тем лучше. Всегда. И эти как раз позволяют экономить.

Solaris86 в сообщении #1326486 писал(а):
Хорошо.
dx - дифференциал х.
Дифференциал - произвольное бесконечно малое приращение переменной величины (согласно гуглу)
Даже гугл даёт разные ответы, а вам вообще предложено было консультироваться с учебником. Потому что нужно выстраивать цельную картину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 14:20 


05/09/16
12041
Solaris86 в сообщении #1326486 писал(а):
Что же такое дифференциал, стало совсем неясно.

... это линейная часть приращения :mrgreen: Если прирастает независимая переменная $x$, то считается, что прирастает она в принципе линейно всегда и везде и поскольку $x(x)=x$ то $x'(x) \equiv 1$ и получается что $dx=x'(x)\cdot \Delta x=1 \cdot \Delta x = \Delta x$ для любых значений $x$ А вот прирост зависимой переменной уже зависит от двух параметров: от значения независимой переменной в той точке, откуда считают прирост, и от прироста независимой переменной. Кроме того, этот прирост зависимой переменной искусственно разделяют на линейную и нелинейную части, и вот линейную часть, то есть прямо пропорциональную приросту независимой переменной, называют дифференциалом независимой переменной: $dy=A \cdot dx$
Solaris86 в сообщении #1326486 писал(а):
Да, я понимаю эту картинку. Это пока всё, что мне понятно)

Изображение
Так вот на картинке нет никаких бесконечно малых. $dx$ может быть любым -- и большим и малым. Соответственно и $dy$ может быть как большим так и малым.

Может быть даже интересней. Если $y(x)=x^2$, то в точке $x_0=0$ дифференциал $dy(x_0=0;dx) \equiv 0$ -- равен нулю независимо от того чему равен дифференциал независимой переменной $dx$. В этой точке о-малое из старта темы всегда больше чем $dy$ (поскольку в этой точке $dy=0$) :mrgreen:

Еще картинка, где обозначено о-малое:
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 14:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):
1. Что нам даёт тот факт, что $o(\Delta x)$ стремится к 0 быстрее, чем $\Delta x$?

Даёт то, что можно приближённо заменить приращение функции её дифференциалом, причём относительная погрешность такой замены будет сколь угодно мала при достаточно малом $\Delta x$. Это, в свою очередь даёт нам возможность в достаточно малой окрестности точки $x_0$ рассматривать простую линейную функцию вместо исходной сложной нелинейной, что особенно полезно в приближённых вычислениях.
Solaris86 в сообщении #1326464 писал(а):
2. На каком основании приравнивают $\Delta x  = dx$?!

По определению, по соглашению. А можно даже доказать (см. Otta).

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 14:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
Так и неясно, что с того, что я знаю, что одно стремится к 0 быстрее, чем другое?! Как я дальше использую этот факт, или это факт ради факта во имя повышения математической энциклопедичности?
Очевидно, Вы никак не используете, потому и не понимаете.
Предположим, что Вам известно, что $\Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$, где $A$ — некоторое число. Пожалуйста, найдите $f'(x_0)$, пользуясь непосредственно определением производной. Если и после этого не поймёте, зачем это условие, то я уж и не знаю, как Вам помочь.

На ту же тему сообщение Otta. Тоже разберите.

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
Вбил в гугл "дифференциал"
Первое вылезшее определение "В математике: произвольное бесконечно малое приращение переменной величины."
Без комментариев...
Комментарий: мало ли всякой чуши можно найти на просторах интернета.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 14:58 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
thething в сообщении #1326500 писал(а):
. А можно даже доказать

Да тут уже раза четыре доказали, еще бы кто осознал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 22:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
thething в сообщении #1326500 писал(а):
даёт нам возможность в достаточно малой окрестности точки $x_0$ рассматривать простую линейную функцию вместо исходной сложной нелинейной, что особенно полезно в приближённых вычислениях.

Что в приближённых вычислениях -- бесполезно чуть более чем абсолютно. Те, приближённые времена давно ушли.

Не пудрите пацану мозги. Оно полезно лишь с сугубо теоретической точки зрения. Но зато эта полезность -- не отомрёт тоже приблизительно никогда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
Так и неясно, что с того, что я знаю, что одно стремится к 0 быстрее, чем другое?! Как я дальше использую этот факт, или это факт ради факта во имя повышения математической энциклопедичности?

А я-то откуда знаю? Вы процитировали кусок неизвестно чего неизвестно откуда. Зачем он вам самому нужен? Это только вы знаете.

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
Зачем выдумывать новое обозначение просто так?

Оно не просто так, но оно становится особенно удобным, важным и нужным в других задачах. До которых вы ещё не добрались.

Solaris86 в сообщении #1326478 писал(а):
...тогда dx для меня станет тем же самым, что и понятие точки в в геометрии - понятие, у которого вообще нет определения...

Это означает, что вы очень паршиво знакомы с геометрией.

-- 13.07.2018 22:36:25 --

ewert в сообщении #1326579 писал(а):
Те, приближённые времена давно ушли.

Не несите бред.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 22:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1326584 писал(а):
Не несите бред.

Вы просто не в курсе. Речь шла о вычислениях, а не о прикидках (если, конечно, Вы имеете представление хоть о том, хоть о другом).

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я-то имею. И именно поэтому прошу вас прекратить нести бред.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение13.07.2018, 22:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1326586 писал(а):
Я-то имею.

Это ложное утверждение. Поскольку Вы явно не имеете представления о различии между этими двумя понятиями. А оно существенно, выдам тайну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение14.07.2018, 01:03 


28/01/15
670
Всем спасибо за помощь! Сейчас всё перечитал и вот что есть из понимания и непонимания на данный момент.

1.
Munin в сообщении #1325447 писал(а):
Это не функция, это обозначение.

Я понял, что это обозначение, но не ясно, почему нелинейную часть приращения функции нельзя считать функцией от приращения аргумента?!
Munin в сообщении #1326470 писал(а):
Ещё раз, это не функция!!!
Это всего лишь обозначение, что "$g(\Delta x)$ стремится к 0 быстрее, чем $\Delta x$".

Но на оси OY эта "нефункция" имеет свой отрезок... Что это тогда?

2.
gefest_md в сообщении #1325567 писал(а):
Подразумевается, что $h$ в выражении $o(h)$ это тождественная функция, а не переменная. Правильнее $o(\rm{id}(h))$ или $o(\rm{id})$. Тогда пришлось бы явно указать где $\rm{id}$ определена. В «правильном» определении вошли бы дополнительно две буквы: $\rm{id}$ и $X=\rm{dom}(\rm{id}).$

Тут совсем неясно, с этими id я вообще не знаком. Буду признателен, если подскажете, в каком разделе математики можно изучить эти обозначения.

3.
gefest_md в сообщении #1325576 писал(а):
или что найдется $\alpha=o(h)$ такое, что $\forall h\colon{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+\alpha(h)}$. Поэтому подставлять $h=1$ можно только после того, как выбрана $\alpha.$

Тут имеется в виду, что альфа - это б.м.ф.?

4.
thething в сообщении #1325582 писал(а):
Да тут в этом определении
Solaris86 в сообщении #1325446

писал(а):
функцию в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ можно представить в виде ${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)}$
просто упущена концовка. В таких равенствах с о-малыми всегда через запятую надо указывать базу, в данном случае, $h\to 0$. Указание базы, по-моему, как раз и отбивает желание подставлять конкретные $h$ (по крайней мере внутрь значка $o$).

О какой базе идёт речь, в каком разделе математики про это почитать?

5.
Otta в сообщении #1326384 писал(а):
Solaris86 в сообщении #1326380

писал(а):
Вообще, о-функция - это вариант б.м.ф. или нет?

Не обязательно (обоснуйте). Но бесконечно малую функцию можно записать в виде $o(1)$. Обоснуйте, почему.

Вроде готов рискнуть предположить.
О-функция является б.м.ф. при условии: $\lim\limits_{\Delta x\to 0} o(\Delta x) = 0$ и не является б.м.ф. в остальных случаях.
Б.м.ф., например, $f(x)$ можно записать в виде $o(1)$, т.е. $f(x) = o(1)$ при условии, что $\lim\limits_{ x\to x_0} f(x) = 0$ и $x_0 \not = 1$. Это возможно потому, что 1 - это константа, она не убывает или иными словами скорость убывания равна 0, поэтому любая другая функция, не являющаяся константой, всегда будет убывать быстрее.

6.
arseniiv в сообщении #1326474 писал(а):
$dx$ — это самый нормальный дифференциал $x$, если не забывать, что сама $x$ является переменной, от которой мы рассматриваем тут функции. Этот дифференциал (как и другие!) является функцией двух переменных — $x$ и $\Delta x\equiv h$, но от $x$ он не зависит никак и равен просто $\Delta x$. В этом смысле $dx = \Delta x$, хотя точнее будет писать, конечно, что $dx(x, \Delta x) = \Delta x$. Этого обычно не пишут, или пишут лишь единожды за всё изложение, потому что это и так ясно из определения дифференциала, и, кроме того, это вынуждает нас вводить какое-то обозначение для переменной-приращения. Так что $dx$ использовать удобнее.

wrest в сообщении #1326493 писал(а):
Solaris86 в сообщении #1326486

писал(а):
Что же такое дифференциал, стало совсем неясно.
... это линейная часть приращения :mrgreen: Если прирастает независимая переменная $x$, то считается, что прирастает она в принципе линейно всегда и везде и поскольку $x(x)=x$ то $x'(x) \equiv 1$ и получается что $dx=x'(x)\cdot \Delta x=1 \cdot \Delta x = \Delta x$ для любых значений $x$ А вот прирост зависимой переменной уже зависит от двух параметров: от значения независимой переменной в той точке, откуда считают прирост, и от прироста независимой переменной. Кроме того, этот прирост зависимой переменной искусственно разделяют на линейную и нелинейную части, и вот линейную часть, то есть прямо пропорциональную приросту независимой переменной, называют дифференциалом независимой переменной: $dy=A \cdot dx$

Эти два сообщения дали ответ на вопрос о приравнивании приращения аргумента к дифференциалу аргумента.
Объединяя информацию из двух сообщений, я понял так:
$dx (x,\Delta x) = x'(x)\cdot \Delta x=1 \cdot \Delta x = \Delta x$; 2 вида записи: $dx (x,\Delta x) = \Delta x$ - развернутая запись, $dx = \Delta x$ - сокращённая запись.
$dy (x,\Delta x) = y'(x)\cdot \Delta x=A \cdot \Delta x = A\Delta x$; 2 вида записи: $dy (x,\Delta x) = A\Delta x$ - развернутая запись, $dy = A\Delta x$ - сокращённая запись.
Не понял, с какой целью были использованы знаки тождественного равенства в выражениях: $\Delta x\equiv h$ и $x'(x) \equiv 1$.
Ещё вопрос: можно ли дифференциал считать оператором?

7.
Munin в сообщении #1326470 писал(а):
А слова, что "$dx$ - бесконечно малое приращение", выкиньте из головы.

wrest в сообщении #1326493 писал(а):
Так вот на картинке нет никаких бесконечно малых. $dx$ может быть любым -- и большим и малым. Соответственно и $dy$ может быть как большим так и малым.

Итак, я понял следующее:
1) дифференциал функции или аргумента - это линейная часть приращения функции или аргумента соответсвенно
2) дифференциал функции или аргумента - это конечная величина, могущая принимать любые значения: $0 < |dx| <\infty$ и $0 < |dy| <\infty$
Я так понял, что Munin негодовал именно по поводу того, что я брал бесконечную величину, во-первых, да еще и только малую, во-вторых...
Значит, моё предположение, что дифференциал - это числовой ряд, неверно.

8.
Otta в сообщении #1326489 писал(а):
Ну вот вы выделяете постоянную часть функции $\Delta x\mapsto f(x + \Delta x)$, а именно $f(x)\equiv A_0$, потом линейную часть: выделили, назвали её $A_1\Delta x$. Если вы теперь хотите записать, что $f(x + \Delta x) = A_0 + A_1\Delta x + \text{что-то}$, то этим чем-то как раз и окажется $o(\Delta x)$.

ewert в сообщении #1326579 писал(а):
Предположим, что Вам известно, что $\Delta f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$, где $A$ — некоторое число. Пожалуйста, найдите $f'(x_0)$, пользуясь непосредственно определением производной. Если и после этого не поймёте, зачем это условие, то я уж и не знаю, как Вам помочь.

Что совсем непонятно, так это обозначение $\Delta f(x_0)$... Наверно, имелось в виду $\Delta y$ всё-таки
$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)$
$y' = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{A\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{A\Delta x}{\Delta x} + \lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {o(\Delta x)}{\Delta x} = A + 0 = A$
Кажется, прояснилось: если в числителе слагаемого $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac {o(\Delta x)}{\Delta x}$ будет б.м.ф. того же или большего порядка, что и б.м.ф. $\Delta x$ в знаменателе, то предел будет не 0, а либо конечно число, либо бесконечность... Тут единственная проблема: мне не представить функцию, у которой предел второго слагаемого будет конечное число или бесконечность. Я понимаю, что они должна быть недифференцируема вообще, но что это за функция, пока неясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение14.07.2018, 02:29 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Solaris86 в сообщении #1326617 писал(а):
Тут совсем неясно, с этими id я вообще не знаком.
Так я обозначил тождественное отображение.

Solaris86 в сообщении #1326617 писал(а):
Тут имеется в виду, что альфа - это б.м.ф.?
Точнее сказать $\alpha(h)=\beta(h)\cdot \operatorname{id}(h)=\beta(h)\cdot h$ для любого $h$ из некоторой окрестности точки $0$, где $\lim\limits_{h\to 0}\beta(h)=0$ (б.м.ф.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение14.07.2018, 05:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Solaris86 в сообщении #1326617 писал(а):
О какой базе идёт речь, в каком разделе математики про это почитать?

О базе проколотых окрестностей точки 0. См., например, в Зориче. Да и насчет о-малых и больших, дифференциалов, производных, пределов, тоже там почитайте, или в Фихтенгольце, а то у Вас дифференциал -- это был ряд.. Нельзя же так, впрыгивать в тему с середины, целенаправленно надо, последовательно и постепенно.

-- 14.07.2018, 08:13 --

(ewert)

Не знаю, как у Вас, но у нас после слов, что что-то "полезно с сугубо теоретической точки зрения", отпадает примерно 4/5 желающих вникать во всю эту теорию

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение14.07.2018, 11:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Solaris86 в сообщении #1326617 писал(а):
Я понял, что это обозначение, но не ясно, почему нелинейную часть приращения функции нельзя считать функцией от приращения аргумента?!

С чего вы взяли, что "нельзя", когда все вокруг именно так её и считают?

Solaris86 в сообщении #1326617 писал(а):
Но на оси OY эта "нефункция" имеет свой отрезок...

С чего вы это взяли? Откуда вы вытаскиваете эту чушь?

Solaris86 в сообщении #1326617 писал(а):
Ещё вопрос: можно ли дифференциал считать оператором?

Вы вряд ли знаете, что такое оператор, так что лучше не надо. Не пользуйтесь теми словами, которых вы не знаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная
Сообщение14.07.2018, 11:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1326659 писал(а):
С чего вы взяли, что "нельзя", когда все вокруг именно так её и считают?
Munin в сообщении #1326659 писал(а):
С чего вы это взяли? Откуда вы вытаскиваете эту чушь?
Чего Вы удивляетесь? Человеку четвёртую страницу пытаются объяснить простейший вопрос, а он продолжает выдумывать глупости. Типичный тролль прикидывается дурачком.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 221 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ... 15  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group