Мнимые числа, экспонента

[Vmf]

Вот помнится была формула: $e^{i\alpha}$, где a - мера угла (в градусах), i - мнимая единица, e - экспонента не отвечаю за правильность написания, но с ее помощью можно записать любое действительное число. Так вот к чему это, всем известное $e^{i\pi}=-1$, является частным случаем. А какой смысл у формулы. Я полагаю в геометрическом смысле, это связано с пересечением графиков (возможно, окружности и экспоненты в степени $x$ какой-нибудь) в одной точке (одно же число) при определенном $\alpha$ (т. к. из остальные константы), есть еще версия с полярными координатами, и с осью мнимых чисел, но там вообще все сложно.

[Someone]

Vmf в сообщении #1325828 писал(а):

e - экспонента

$e$ — это "число е", а не экспонента. Экспонентой называется показательная функция $\exp(x)=e^x$. Кстати, односимвольные формулы тоже необходимо записывать по правилам: $e$.

Vmf в сообщении #1325828 писал(а):

a - мера угла

Греческая буква "альфа" кодируется как \alpha. Посмотреть это можно было в теме http://dxdy.ru/topic183.html. Ссылка имеется слева от окна редактирования.

Vmf в сообщении #1325828 писал(а):

А какой смысл у формулы.

Смысл формулы в том, что угол между положительным направлением действительной оси и вектором, изображающим на комплексной плоскости число $-1$, равен $\pi$ радиан. Сколько это в градусах?

[Walker_XXI]

Vmf, для начала посмотрите в Википедии статью Формула Эйлера и ссылки из неё. Интересное обсуждение есть в параграфе 5.3 книги Р.Пенроуза "Путь к реальности, или законы, управляющие Вселенной".

И, кстати, в упомянутых соотношениях угловая мера в радианах, а не в градусах.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: отсутствие дискуссионности.

[Евгений Машеров]

Ну, вообще-то она доказывается через подстановку мнимого аргумента в ряд для экспоненты, собиранием действительных и мнимых слагаемых, и тем, что эти слагаемые образуют ряды для косинуса и синуса.
Но если Вам это неубедительно - давайте через геометрию. Действительные числа могут быть отложены на оси, мнимые на другой, так что комплексное число соответствует точке на плоскости (или вектору из начала координат в эту точку). Операции над комплексными числами могут быть выражены геометрически. Для сложения всё очень просто и ясно, это сложение векторов, соответствующих слагаемым. Для умножения немного сложнее. Длины векторов-сомножителей перемножаются, а углы, которые они образуют с осью Х, складываются. Возведение в степень получается вращением.

[Otta]

Я дико извиняюсь, но можно поинтересоваться, какая формула тут обсуждается?

Vmf в сообщении #1325828 писал(а):

формула: $e^{i\alpha}$

это не формула, а выражение.

[Евгений Машеров]

Я исходил из того, что речь о формуле Эйлера (которая для комплексных чисел)

[Munin]

Otta в сообщении #1326065 писал(а):

это не формула, а выражение.

Простите, а не просветите, в чём разница?

Я привык называть формулами как выражения, так и равенства, например, уравнения и тождества.

[arseniiv]

В очень строгом смысле (матлогика) формула — это запись, интерпретирующаяся как высказывание (и терм — запись, интерпретирующаяся как [не логическое] выражение, хотя в более широком смысле терм может обозначать практически любую корректную запись). В нестрогом я сам сначала слышал формулы для названия вообще чуть ли не всего, не являющегося ни явно текстом, ни явно какими-то схемами или иллюстрациями, не важно с какой семантикой и в каком отношении к окружающему. И вот как это всё более всего оправданно интерполировать, чтобы получить умеренно строгий смысл, не имею понятия.

[Otta]

Мне бы не хотелось вдаваться в терминологические подробности, к тому же, действительно, здесь зыбкие. Единственно, даже в дебрях математической науки не всякое выражение называется формулой. Я хотела выше выразиться ровно так, чтобы меня понял ТС и сказал, что именно мы тут обсуждаем. Потому что вопрос был не праздный.
Чтобы мой вопрос был более понятен (ТС, остальные поняли), предлагаю следующую редакцию стартового поста. Его пост - частный случай этой.

Цитата:

Вот помнится была формула: $x^y$,....

Вопрос остался: что мы обсуждаем.

Какую формулу? На выбор: формулу Эйлера, как уже написали?
Или $z/|z|=e^{i\alpha}$ Или еще что-нибудь, их есть у меня, могу много написать?

arseniiv

arseniiv в сообщении #1326179 писал(а):

И вот как это всё более всего оправданно интерполировать, чтобы получить умеренно строгий смысл

Да никак, я думаю.

Математическая энциклопедия писал(а):

В математич. практике Ф. наз. также осмысленные комбинации символов, несущие разнообразную смысловую нагрузку. Они могут быть как именными, так и высказывательными формами, определениями-сокращениями и пр.

(Подчеркивание мое).

[arseniiv]

Да, об осмысленности в нестрогом смысле я не подумал.

[ewert]

Vmf в сообщении #1325828 писал(а):

. Так вот к чему это, всем известное $e^{i\pi}=-1$, является частным случаем. А какой смысл у формулы.

В том, что есть в жизни комплексныя числа. Появившиеся за сколько-то там столетий до Эйлера (за три примерно, кажется). Тот же всего-навсего ловко уловил их замечательные алгебраические свойства. Он вообще ловок был.

Ну а потом, с подачи Эйлера (но уже без его участия -- просто время другое настало; 19-й век, извините) -- всё это вылилось в великолепнейшую ТФКП.