2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мнимые числа, экспонента
Сообщение11.07.2018, 11:01 


09/07/18
8
Вот помнится была формула: $e^{i\alpha}$, где a - мера угла (в градусах), i - мнимая единица, e - экспонента не отвечаю за правильность написания, но с ее помощью можно записать любое действительное число. Так вот к чему это, всем известное $e^{i\pi}=-1$, является частным случаем. А какой смысл у формулы. Я полагаю в геометрическом смысле, это связано с пересечением графиков (возможно, окружности и экспоненты в степени $x$ какой-нибудь) в одной точке (одно же число) при определенном $\alpha$ (т. к. из остальные константы), есть еще версия с полярными координатами, и с осью мнимых чисел, но там вообще все сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение11.07.2018, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16229
Новомосковск
Vmf в сообщении #1325828 писал(а):
e - экспонента
$e$ — это "число е", а не экспонента. Экспонентой называется показательная функция $\exp(x)=e^x$. Кстати, односимвольные формулы тоже необходимо записывать по правилам: $e$.

Vmf в сообщении #1325828 писал(а):
a - мера угла
Греческая буква "альфа" кодируется как \alpha. Посмотреть это можно было в теме http://dxdy.ru/topic183.html. Ссылка имеется слева от окна редактирования.

Vmf в сообщении #1325828 писал(а):
А какой смысл у формулы.
Смысл формулы в том, что угол между положительным направлением действительной оси и вектором, изображающим на комплексной плоскости число $-1$, равен $\pi$ радиан. Сколько это в градусах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение11.07.2018, 16:28 
Заслуженный участник


01/06/15
836
С.-Петербург
Vmf, для начала посмотрите в Википедии статью Формула Эйлера и ссылки из неё. Интересное обсуждение есть в параграфе 5.3 книги Р.Пенроуза "Путь к реальности, или законы, управляющие Вселенной".

И, кстати, в упомянутых соотношениях угловая мера в радианах, а не в градусах.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.07.2018, 16:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15723
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: отсутствие дискуссионности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение11.07.2018, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6148
Москва
Ну, вообще-то она доказывается через подстановку мнимого аргумента в ряд для экспоненты, собиранием действительных и мнимых слагаемых, и тем, что эти слагаемые образуют ряды для косинуса и синуса.
Но если Вам это неубедительно - давайте через геометрию. Действительные числа могут быть отложены на оси, мнимые на другой, так что комплексное число соответствует точке на плоскости (или вектору из начала координат в эту точку). Операции над комплексными числами могут быть выражены геометрически. Для сложения всё очень просто и ясно, это сложение векторов, соответствующих слагаемым. Для умножения немного сложнее. Длины векторов-сомножителей перемножаются, а углы, которые они образуют с осью Х, складываются. Возведение в степень получается вращением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение11.07.2018, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6982
Я дико извиняюсь, но можно поинтересоваться, какая формула тут обсуждается?
Vmf в сообщении #1325828 писал(а):
формула: $e^{i\alpha}$

это не формула, а выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение12.07.2018, 09:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
6148
Москва
Я исходил из того, что речь о формуле Эйлера (которая для комплексных чисел)

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение12.07.2018, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66401
Otta в сообщении #1326065 писал(а):
это не формула, а выражение.

Простите, а не просветите, в чём разница?

Я привык называть формулами как выражения, так и равенства, например, уравнения и тождества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение12.07.2018, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23806
Уфа
В очень строгом смысле (матлогика) формула — это запись, интерпретирующаяся как высказывание (и терм — запись, интерпретирующаяся как [не логическое] выражение, хотя в более широком смысле терм может обозначать практически любую корректную запись). В нестрогом я сам сначала слышал формулы для названия вообще чуть ли не всего, не являющегося ни явно текстом, ни явно какими-то схемами или иллюстрациями, не важно с какой семантикой и в каком отношении к окружающему. И вот как это всё более всего оправданно интерполировать, чтобы получить умеренно строгий смысл, не имею понятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение12.07.2018, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6982
Мне бы не хотелось вдаваться в терминологические подробности, к тому же, действительно, здесь зыбкие. Единственно, даже в дебрях математической науки не всякое выражение называется формулой. Я хотела выше выразиться ровно так, чтобы меня понял ТС и сказал, что именно мы тут обсуждаем. Потому что вопрос был не праздный.
Чтобы мой вопрос был более понятен (ТС, остальные поняли), предлагаю следующую редакцию стартового поста. Его пост - частный случай этой.

Цитата:
Вот помнится была формула: $x^y$,....
Вопрос остался: что мы обсуждаем.

Какую формулу? На выбор: формулу Эйлера, как уже написали?
Или $z/|z|=e^{i\alpha}$ Или еще что-нибудь, их есть у меня, могу много написать?

arseniiv
arseniiv в сообщении #1326179 писал(а):
И вот как это всё более всего оправданно интерполировать, чтобы получить умеренно строгий смысл
Да никак, я думаю.
Математическая энциклопедия писал(а):
В математич. практике Ф. наз. также осмысленные комбинации символов, несущие разнообразную смысловую нагрузку. Они могут быть как именными, так и высказывательными формами, определениями-сокращениями и пр.
(Подчеркивание мое).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение12.07.2018, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23806
Уфа
Да, об осмысленности в нестрогом смысле я не подумал. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение13.07.2018, 22:31 
Заслуженный участник


11/05/08
31548
Vmf в сообщении #1325828 писал(а):
. Так вот к чему это, всем известное $e^{i\pi}=-1$, является частным случаем. А какой смысл у формулы.

В том, что есть в жизни комплексныя числа. Появившиеся за сколько-то там столетий до Эйлера (за три примерно, кажется). Тот же всего-навсего ловко уловил их замечательные алгебраические свойства. Он вообще ловок был.

Ну а потом, с подачи Эйлера (но уже без его участия -- просто время другое настало; 19-й век, извините) -- всё это вылилось в великолепнейшую ТФКП.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group