2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мнимые числа, экспонента
Сообщение11.07.2018, 11:01 


09/07/18
7
Вот помнится была формула: $e^{i\alpha}$, где a - мера угла (в градусах), i - мнимая единица, e - экспонента не отвечаю за правильность написания, но с ее помощью можно записать любое действительное число. Так вот к чему это, всем известное $e^{i\pi}=-1$, является частным случаем. А какой смысл у формулы. Я полагаю в геометрическом смысле, это связано с пересечением графиков (возможно, окружности и экспоненты в степени $x$ какой-нибудь) в одной точке (одно же число) при определенном $\alpha$ (т. к. из остальные константы), есть еще версия с полярными координатами, и с осью мнимых чисел, но там вообще все сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение11.07.2018, 12:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15740
Новомосковск
Vmf в сообщении #1325828 писал(а):
e - экспонента
$e$ — это "число е", а не экспонента. Экспонентой называется показательная функция $\exp(x)=e^x$. Кстати, односимвольные формулы тоже необходимо записывать по правилам: $e$.

Vmf в сообщении #1325828 писал(а):
a - мера угла
Греческая буква "альфа" кодируется как \alpha. Посмотреть это можно было в теме http://dxdy.ru/topic183.html. Ссылка имеется слева от окна редактирования.

Vmf в сообщении #1325828 писал(а):
А какой смысл у формулы.
Смысл формулы в том, что угол между положительным направлением действительной оси и вектором, изображающим на комплексной плоскости число $-1$, равен $\pi$ радиан. Сколько это в градусах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение11.07.2018, 16:28 
Заслуженный участник


01/06/15
815
С.-Петербург
Vmf, для начала посмотрите в Википедии статью Формула Эйлера и ссылки из неё. Интересное обсуждение есть в параграфе 5.3 книги Р.Пенроуза "Путь к реальности, или законы, управляющие Вселенной".

И, кстати, в упомянутых соотношениях угловая мера в радианах, а не в градусах.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение11.07.2018, 16:44 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
14479
Кронштадт
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: отсутствие дискуссионности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение11.07.2018, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5940
Москва
Ну, вообще-то она доказывается через подстановку мнимого аргумента в ряд для экспоненты, собиранием действительных и мнимых слагаемых, и тем, что эти слагаемые образуют ряды для косинуса и синуса.
Но если Вам это неубедительно - давайте через геометрию. Действительные числа могут быть отложены на оси, мнимые на другой, так что комплексное число соответствует точке на плоскости (или вектору из начала координат в эту точку). Операции над комплексными числами могут быть выражены геометрически. Для сложения всё очень просто и ясно, это сложение векторов, соответствующих слагаемым. Для умножения немного сложнее. Длины векторов-сомножителей перемножаются, а углы, которые они образуют с осью Х, складываются. Возведение в степень получается вращением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение11.07.2018, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6733
Я дико извиняюсь, но можно поинтересоваться, какая формула тут обсуждается?
Vmf в сообщении #1325828 писал(а):
формула: $e^{i\alpha}$

это не формула, а выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение12.07.2018, 09:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5940
Москва
Я исходил из того, что речь о формуле Эйлера (которая для комплексных чисел)

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение12.07.2018, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65051
Otta в сообщении #1326065 писал(а):
это не формула, а выражение.

Простите, а не просветите, в чём разница?

Я привык называть формулами как выражения, так и равенства, например, уравнения и тождества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение12.07.2018, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
В очень строгом смысле (матлогика) формула — это запись, интерпретирующаяся как высказывание (и терм — запись, интерпретирующаяся как [не логическое] выражение, хотя в более широком смысле терм может обозначать практически любую корректную запись). В нестрогом я сам сначала слышал формулы для названия вообще чуть ли не всего, не являющегося ни явно текстом, ни явно какими-то схемами или иллюстрациями, не важно с какой семантикой и в каком отношении к окружающему. И вот как это всё более всего оправданно интерполировать, чтобы получить умеренно строгий смысл, не имею понятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение12.07.2018, 13:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6733
Мне бы не хотелось вдаваться в терминологические подробности, к тому же, действительно, здесь зыбкие. Единственно, даже в дебрях математической науки не всякое выражение называется формулой. Я хотела выше выразиться ровно так, чтобы меня понял ТС и сказал, что именно мы тут обсуждаем. Потому что вопрос был не праздный.
Чтобы мой вопрос был более понятен (ТС, остальные поняли), предлагаю следующую редакцию стартового поста. Его пост - частный случай этой.

Цитата:
Вот помнится была формула: $x^y$,....
Вопрос остался: что мы обсуждаем.

Какую формулу? На выбор: формулу Эйлера, как уже написали?
Или $z/|z|=e^{i\alpha}$ Или еще что-нибудь, их есть у меня, могу много написать?

arseniiv
arseniiv в сообщении #1326179 писал(а):
И вот как это всё более всего оправданно интерполировать, чтобы получить умеренно строгий смысл
Да никак, я думаю.
Математическая энциклопедия писал(а):
В математич. практике Ф. наз. также осмысленные комбинации символов, несущие разнообразную смысловую нагрузку. Они могут быть как именными, так и высказывательными формами, определениями-сокращениями и пр.
(Подчеркивание мое).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение12.07.2018, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Да, об осмысленности в нестрогом смысле я не подумал. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Мнимые числа, экспонента
Сообщение13.07.2018, 22:31 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Vmf в сообщении #1325828 писал(а):
. Так вот к чему это, всем известное $e^{i\pi}=-1$, является частным случаем. А какой смысл у формулы.

В том, что есть в жизни комплексныя числа. Появившиеся за сколько-то там столетий до Эйлера (за три примерно, кажется). Тот же всего-навсего ловко уловил их замечательные алгебраические свойства. Он вообще ловок был.

Ну а потом, с подачи Эйлера (но уже без его участия -- просто время другое настало; 19-й век, извините) -- всё это вылилось в великолепнейшую ТФКП.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild, victor.l


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group