2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 12:10 
Аватара пользователя


28/05/15
48
Эффект Доплера выражается следующей формулой:

Для движущегося приёмника: $\omega = \omega_0 \cdot \left( 1 + \frac{v}{c}\right)$

Для движущегося источника: $\omega = \omega_0 \cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{v}{c}\right)}$

Для отражённой волны это происходит так, сначала излучается волна частоты $\omega_0$, на отражающем объекте по эффекту Доплера имеем волну частоты $\omega_0 \cdot \left( 1 + \frac{v}{c}\right)$, которую он и отражает, и на приёмной антенне по эффекту Доплера для обратного хода волны нужно ещё раз домножить на коэффициент, в итоге получаем, что частота отражённой (на принимающей антенне) волны равна:

$\omega = \omega_0 \cdot \frac{\left( 1 + \frac{v}{c} \right)}{\left( 1 - \frac{v}{c}\right)}$

Если знаменатель разложить в ряд, затем пренебречь квадратичными членами (при условии, что скорости много меньше скорости света), получаем приближённую формулу:

$\omega = \omega_0 \cdot \left( 1 + \frac{2v}{c} \right)$

Заметим, что при релятивистских скоростях последняя формула не просто неверна, даже "точная" формула окажется неверной, так как она не учитывает релятивистское замедление времени. Таким образом, в области применимости выше полученной "точной" формулы она всегда приближённо совпадает со второй формулой.

Вроде мои рассуждения верны, если где ошибся - прошу поправить.

Интересует вот что, есть ли где-то в доступе оригинальный доклад Доплера? Хочется посмотреть, какие формулы получились у него, а также интересно его обоснование. Также хотелось бы дополнительно увидеть обоснование Петцваля в его критикующей работе (которое позднее, если верить историкам науки, было принято как более удачное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 12:17 


27/08/16
5359
zcorvid в сообщении #1325845 писал(а):
Эффект Доплера выражается следующей формулой

Вы какой именно из эффектов Доплера подразумеваете? Для каких именно волн в какой среде? Если радиоволны в вакууме - берите релятивистский эффект Доплера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70010
zcorvid
Зачем вам первоисточники? Это настолько элементарное упражнение, что его надо уметь выполнить своими силами.

Пусть источник движется по закону $\vec{r}=\vec{v}t,$ и каждый период $T=2\pi/\omega$ испускает сферическую волну (уравнение волны $|\Delta\vec{r}|=c\,\Delta t$), а приёмник - по закону $\vec{r}=\vec{r}'_0+\vec{v}'t.$ Легко посчитать (особенно в линейном приближении) частоту, с которой приёмник будет пересекать фронты волн.

В релятивистском случае, надо пересчитать частоты испускания и получения через собственное время вдоль мировых линий источника и приёмника, или (что то же самое) переходом в их системы отсчёта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 14:45 
Аватара пользователя


28/05/15
48
Релятивистский не подойдёт, он нужен при отражении от объекта, движущегося с релятивистской скоростью, а у нас скорости объектов достаточно малы. Чтобы проявились эффекты СТО нужно релятивистское движение именно объектов (источника/приёмника), а не волны.

Волна электромагнитная, движется в обычной воздушной среде, но можно считать, что это вакуум. (Вообще это обычный доплеровский радар, измеряющий дистанцию и скорость, я пытаюсь разобрать его данные, которые приходят от набора разных целей, и поэтому всплывают различные вопросы.)

Первоисточник нужен, чтобы убедиться, что мои расчёты схожи/совпадают с оригиналом, дело в том, что я сделал это упражнение, и у меня всё идеально сошлось с изложенным в Википедии (часть результатов упражнения я написал выше), но возник спор, что последняя формула (которая по расчётам является приближением в первом порядке) на самом деле является точной формулой, поэтому хотелось увидеть источник (не для себя, а скорее чтобы убедить оппонента, потому что не хочется искать ошибку в "альтернативных" расчётах, при которых последняя формула оказалась точной). Это как контрпример к утверждению, вместо поиска ошибки в (неправильном) сложном доказательстве :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 15:03 


27/08/16
5359
zcorvid в сообщении #1325926 писал(а):
но возник спор, что последняя формула (которая по расчётам является приближением в первом порядке) на самом деле является точной формулой
При правильном использовании формул релятивистского эффекта Доплера вы можете получить точную свою. В релятивистской формуле для эффекта Доплера присутствуют дополнительные квадратичные поправки в разложении в ряд. Попытайтесь не раскладывать в ряд, а найти точное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70010
zcorvid в сообщении #1325926 писал(а):
Первоисточник нужен, чтобы убедиться, что мои расчёты схожи/совпадают с оригиналом...

Это обычно не нужно никому, кроме историка науки, изучающего оригинал.

zcorvid в сообщении #1325926 писал(а):
...возник спор, что последняя формула (которая по расчётам является приближением в первом порядке) на самом деле является точной формулой...

Тут надо смотреть, с кем спор, в смысле вменяемости оппонента. И за что он изначально. Может, и не стоит спорить.

Даже если у Доплера сделано утверждение, что что-то точное, хотя по вашим расчётам - неточное, верить надо расчётам. Ошибки в оригинальных статьях - дело обычное, и не цитированием первоисточника в физике и математике устанавливают истину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 17:00 
Аватара пользователя


28/05/15
48
Сделал расчёт, исходя из релятивистской формулы, точная формула получилась:

$\omega = \omega_0 \cdot \frac{\left( 1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}{\left( 1 - \frac{v}{c} \right)^2}$

На всякий случай отмечу, в википедии допущена неточность, в нерелятивистской формуле считается, что $v$ положительно для сближения, а в релятивистской наоборот, поэтому формулы там получились со знаком минус у $v$.

Если это дело разложить и оставить только члены первого порядка, получаем ту же самую приближённую формулу:

$\omega = \omega_0 \cdot \left( 1 + \frac{2v}{c} \right)$

Ранее я был неправ, говоря, что тут можно пользоваться нерелятивистской формулой, невнимательно прочитал википедию, для э/м волны нужно пользоваться именно общим вариантом (почему, я не очень понял, но пока в это поверю).

Кстати, релятивистская формула мне очень нравится, в ней не нарушается принцип относительности, неважно, движется источник волн, или же приёмник. Для ранее упомянутой классической формулы это было неверно (потому что в общем случае $\frac{1}{1 - x} \not = 1 + x$).

Спорить о правильной формуле не буду, для практического применения это не играет роли, а для себя я уже сделал вывод (надесь, верный) - выше его описал.

-- 11.07.2018, 17:03 --

Небольшое добавление, я второй раз невнимательно прочитал википедию :-) . В формуле там в знаменателе стоит косинус угла между скоростью и вектором между излучателем и приёмником, который меряется так, что для сближающихся объектов угол будет равен $\pi$, что и даст тот самый минус. Так что никакой неточности там нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 17:07 


27/08/16
5359
zcorvid в сообщении #1325977 писал(а):
Сделал расчёт, исходя из релятивистской формулы, точная формула получилась:

$\omega = \omega_0 \cdot \frac{\left( 1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}{\left( 1 - \frac{v}{c} \right)^2}$
Что равно $\omega = \omega_0 \cdot \frac{\left( 1 + \frac{v}{c} \right)}{\left( 1 - \frac{v}{c}\right)}$. Ваши расчёты я не проверял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70010
zcorvid в сообщении #1325977 писал(а):
Кстати, релятивистская формула мне очень нравится, в ней не нарушается принцип относительности, неважно, движется источник волн, или же приёмник. Для ранее упомянутой классической формулы это было неверно

Ну конечно, потому что в ней волны распространяются с постоянной скоростью относительно среды.

Кстати, упражнение для максимально продвинутых (или упоротых).
Найти релятивистскую формулу для эффекта Доплера для звука. То есть, есть среда, в которой волны распространяются со скоростью $<c,$ одинаковой и постоянной относительно среды. И есть движущиеся источник и приёмник, со своими частотами и со своими замедлениями времени.

Вообще, чем со всем этим возиться, можно сделать совсем просто: найти релятивистские преобразования (преобразования Лоренца, желательно 4-мерные) для произвольного набора параллельных плоских волновых фронтов. (Подсказка: если владеть ЛЛ-2, это всего лишь ПЛ для ковариантных векторов = ковекторов.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 17:22 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
17931
Кронштадт
realeugene в сообщении #1325979 писал(а):
Что равно $\omega = \omega_0 \cdot \frac{\left( 1 + \frac{v}{c} \right)}{\left( 1 - \frac{v}{c}\right)}$.
Что, в свою очередь, очевидный результат для двойного продольного релятивистского эффекта Допплера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эффект Доплера для отражённой волны
Сообщение11.07.2018, 17:46 


27/08/16
5359
Pphantom в сообщении #1325994 писал(а):
Что, в свою очередь, очевидный результат для двойного продольного релятивистского эффекта Допплера.
Не совсем очевидный, а только если вспомнить про инварианты электромагнитного поля при преобразованиях Лоренца.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group