Эффект Доплера для отражённой волны

[zcorvid]

Эффект Доплера выражается следующей формулой:

Для движущегося приёмника: $\omega = \omega_0 \cdot \left( 1 + \frac{v}{c}\right)$

Для движущегося источника: $\omega = \omega_0 \cdot \frac{1}{\left( 1 - \frac{v}{c}\right)}$

Для отражённой волны это происходит так, сначала излучается волна частоты $\omega_0$, на отражающем объекте по эффекту Доплера имеем волну частоты $\omega_0 \cdot \left( 1 + \frac{v}{c}\right)$, которую он и отражает, и на приёмной антенне по эффекту Доплера для обратного хода волны нужно ещё раз домножить на коэффициент, в итоге получаем, что частота отражённой (на принимающей антенне) волны равна:

$\omega = \omega_0 \cdot \frac{\left( 1 + \frac{v}{c} \right)}{\left( 1 - \frac{v}{c}\right)}$

Если знаменатель разложить в ряд, затем пренебречь квадратичными членами (при условии, что скорости много меньше скорости света), получаем приближённую формулу:

$\omega = \omega_0 \cdot \left( 1 + \frac{2v}{c} \right)$

Заметим, что при релятивистских скоростях последняя формула не просто неверна, даже "точная" формула окажется неверной, так как она не учитывает релятивистское замедление времени. Таким образом, в области применимости выше полученной "точной" формулы она всегда приближённо совпадает со второй формулой.

Вроде мои рассуждения верны, если где ошибся - прошу поправить.

Интересует вот что, есть ли где-то в доступе оригинальный доклад Доплера? Хочется посмотреть, какие формулы получились у него, а также интересно его обоснование. Также хотелось бы дополнительно увидеть обоснование Петцваля в его критикующей работе (которое позднее, если верить историкам науки, было принято как более удачное).

[realeugene]

zcorvid в сообщении #1325845 писал(а):

Эффект Доплера выражается следующей формулой

Вы какой именно из эффектов Доплера подразумеваете? Для каких именно волн в какой среде? Если радиоволны в вакууме - берите релятивистский эффект Доплера.

[Munin]

zcorvid
Зачем вам первоисточники? Это настолько элементарное упражнение, что его надо уметь выполнить своими силами.

Пусть источник движется по закону $\vec{r}=\vec{v}t,$ и каждый период $T=2\pi/\omega$ испускает сферическую волну (уравнение волны $|\Delta\vec{r}|=c\,\Delta t$), а приёмник - по закону $\vec{r}=\vec{r}'_0+\vec{v}'t.$ Легко посчитать (особенно в линейном приближении) частоту, с которой приёмник будет пересекать фронты волн.

В релятивистском случае, надо пересчитать частоты испускания и получения через собственное время вдоль мировых линий источника и приёмника, или (что то же самое) переходом в их системы отсчёта.

[zcorvid]

Релятивистский не подойдёт, он нужен при отражении от объекта, движущегося с релятивистской скоростью, а у нас скорости объектов достаточно малы. Чтобы проявились эффекты СТО нужно релятивистское движение именно объектов (источника/приёмника), а не волны.

Волна электромагнитная, движется в обычной воздушной среде, но можно считать, что это вакуум. (Вообще это обычный доплеровский радар, измеряющий дистанцию и скорость, я пытаюсь разобрать его данные, которые приходят от набора разных целей, и поэтому всплывают различные вопросы.)

Первоисточник нужен, чтобы убедиться, что мои расчёты схожи/совпадают с оригиналом, дело в том, что я сделал это упражнение, и у меня всё идеально сошлось с изложенным в Википедии (часть результатов упражнения я написал выше), но возник спор, что последняя формула (которая по расчётам является приближением в первом порядке) на самом деле является точной формулой, поэтому хотелось увидеть источник (не для себя, а скорее чтобы убедить оппонента, потому что не хочется искать ошибку в "альтернативных" расчётах, при которых последняя формула оказалась точной). Это как контрпример к утверждению, вместо поиска ошибки в (неправильном) сложном доказательстве

[realeugene]

zcorvid в сообщении #1325926 писал(а):

но возник спор, что последняя формула (которая по расчётам является приближением в первом порядке) на самом деле является точной формулой

При правильном использовании формул релятивистского эффекта Доплера вы можете получить точную свою. В релятивистской формуле для эффекта Доплера присутствуют дополнительные квадратичные поправки в разложении в ряд. Попытайтесь не раскладывать в ряд, а найти точное решение.

[Munin]

zcorvid в сообщении #1325926 писал(а):

Первоисточник нужен, чтобы убедиться, что мои расчёты схожи/совпадают с оригиналом...

Это обычно не нужно никому, кроме историка науки, изучающего оригинал.

zcorvid в сообщении #1325926 писал(а):

...возник спор, что последняя формула (которая по расчётам является приближением в первом порядке) на самом деле является точной формулой...

Тут надо смотреть, с кем спор, в смысле вменяемости оппонента. И за что он изначально. Может, и не стоит спорить.

Даже если у Доплера сделано утверждение, что что-то точное, хотя по вашим расчётам - неточное, верить надо расчётам. Ошибки в оригинальных статьях - дело обычное, и не цитированием первоисточника в физике и математике устанавливают истину.

[zcorvid]

Сделал расчёт, исходя из релятивистской формулы, точная формула получилась:

$\omega = \omega_0 \cdot \frac{\left( 1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}{\left( 1 - \frac{v}{c} \right)^2}$

На всякий случай отмечу, в википедии допущена неточность, в нерелятивистской формуле считается, что $v$ положительно для сближения, а в релятивистской наоборот, поэтому формулы там получились со знаком минус у $v$.

Если это дело разложить и оставить только члены первого порядка, получаем ту же самую приближённую формулу:

$\omega = \omega_0 \cdot \left( 1 + \frac{2v}{c} \right)$

Ранее я был неправ, говоря, что тут можно пользоваться нерелятивистской формулой, невнимательно прочитал википедию, для э/м волны нужно пользоваться именно общим вариантом (почему, я не очень понял, но пока в это поверю).

Кстати, релятивистская формула мне очень нравится, в ней не нарушается принцип относительности, неважно, движется источник волн, или же приёмник. Для ранее упомянутой классической формулы это было неверно (потому что в общем случае $\frac{1}{1 - x} \not = 1 + x$).

Спорить о правильной формуле не буду, для практического применения это не играет роли, а для себя я уже сделал вывод (надесь, верный) - выше его описал.

-- 11.07.2018, 17:03 --

Небольшое добавление, я второй раз невнимательно прочитал википедию . В формуле там в знаменателе стоит косинус угла между скоростью и вектором между излучателем и приёмником, который меряется так, что для сближающихся объектов угол будет равен $\pi$, что и даст тот самый минус. Так что никакой неточности там нет.

[realeugene]

zcorvid в сообщении #1325977 писал(а):

Сделал расчёт, исходя из релятивистской формулы, точная формула получилась:

$\omega = \omega_0 \cdot \frac{\left( 1 - \frac{v^2}{c^2}\right)}{\left( 1 - \frac{v}{c} \right)^2}$

Что равно $\omega = \omega_0 \cdot \frac{\left( 1 + \frac{v}{c} \right)}{\left( 1 - \frac{v}{c}\right)}$. Ваши расчёты я не проверял.

[Munin]

zcorvid в сообщении #1325977 писал(а):

Кстати, релятивистская формула мне очень нравится, в ней не нарушается принцип относительности, неважно, движется источник волн, или же приёмник. Для ранее упомянутой классической формулы это было неверно

Ну конечно, потому что в ней волны распространяются с постоянной скоростью относительно среды.

Кстати, упражнение для максимально продвинутых (или упоротых).
Найти релятивистскую формулу для эффекта Доплера для звука. То есть, есть среда, в которой волны распространяются со скоростью $<c,$ одинаковой и постоянной относительно среды. И есть движущиеся источник и приёмник, со своими частотами и со своими замедлениями времени.

Вообще, чем со всем этим возиться, можно сделать совсем просто: найти релятивистские преобразования (преобразования Лоренца, желательно 4-мерные) для произвольного набора параллельных плоских волновых фронтов. (Подсказка: если владеть ЛЛ-2, это всего лишь ПЛ для ковариантных векторов = ковекторов.)

[Pphantom]

realeugene в сообщении #1325979 писал(а):

Что равно $\omega = \omega_0 \cdot \frac{\left( 1 + \frac{v}{c} \right)}{\left( 1 - \frac{v}{c}\right)}$.

Что, в свою очередь, очевидный результат для двойного продольного релятивистского эффекта Допплера.

[realeugene]

Pphantom в сообщении #1325994 писал(а):

Что, в свою очередь, очевидный результат для двойного продольного релятивистского эффекта Допплера.

Не совсем очевидный, а только если вспомнить про инварианты электромагнитного поля при преобразованиях Лоренца.