Производная

[Solaris86]

Цитата из Википедии:
Пусть в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$ определена функция ${\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$. Производной функции называется такое число ${\displaystyle A}$, что функцию в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ можно представить в виде ${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)}$, если ${\displaystyle A}$ существует.
Пример: пусть$f(x) = x^2, x_0 = 2, h = 1, A = f'(x) = 2x$
Тогда
$f(x_0 + h) = f(2+1) = (2+1)^2 = 9 = f(x_0) + Ah + o(h) = f(x_0) + f'(x_0)h + o(h) = $ $2^2 + 2\cdot2\cdot1+ o(h) = 8 + o(h) \Rightarrow o(h) = 9-8 = 1$
Вот и вопрос: я не понимаю, что такое о-функция от конкретного числа и как её вычислять.

[Munin]

Это не функция, это обозначение.
См. ту же Википедию:
https://ru.wikipedia.org/wiki/«O»_большое_и_«o»_малое

[Otta]

Solaris86

Solaris86 в сообщении #1325446 писал(а):

Цитата из Википедии

Бред там написан, не надо его понимать.

[thething]

В данном контексте $o(h)$ -- это функция, которая стремится к нулю при $h\to 0$ быстрее, чем $h$, т.е. $\lim\limits_{h\to 0}^{}\frac{o(h)}{h}=0$.
Чтобы это осознать, возьмите в своем примере не конкретное $h$, а произвольное, тогда получится, что $f(2+h)-f(2)=(2+h)^2-2^2=4+4h+h^2-4=4h+h^2$. Отсюда видно, что $f'(2)=4$, а $o(h)=h^2$, поскольку, кто бы спорил, что $h^2$ стремится к нулю быстрее, чем $h$ при стремлении самого $h$ к нулю?

-- 09.07.2018, 18:48 --

(Оффтоп)

Капец, конечно, как в Википедии написано про о-малое

[Munin]

Otta в сообщении #1325456 писал(а):

Бред там написан, не надо его понимать.

А в чём конкретно проблема в этой фразе?

[Otta]

Что информативно.

Solaris86 в сообщении #1325446 писал(а):

пусть$f(x) = x^2, x_0 = 2$

$f(x_0+h)=(2+h)^2=2^2+4h+h^2=f(x_0)+Ah+h^2.$
Поскольку $A=4$, и $h^2=o(h)$ при $h\to 0$, то $f$ дифференцируема в точке $x_0=2$, и $f'(x_0)=4$.
Все.

Тот факт, что при $h=1\quad $ $h^2=1$ ничего не обосновывает, а вот запутать способен кого угодно.

(Так получилось, что набрала то же самое и thething, хотела уже не постить, но оставляю, раз был вопрос ко мне.)

[gefest_md]

Solaris86 в сообщении #1325446 писал(а):

о-функция от конкретного числа

Подразумевается, что $h$ в выражении $o(h)$ это тождественная функция, а не переменная. Правильнее $o(\rm{id}(h))$ или $o(\rm{id})$. Тогда пришлось бы явно указать где $\rm{id}$ определена. В «правильном» определении вошли бы дополнительно две буквы: $\rm{id}$ и $X=\rm{dom}(\rm{id}).$

Solaris86 в сообщении #1325446 писал(а):

если ${\displaystyle A}$ существует.

Автор определения из Википедии перестарался.

[Otta]

gefest_md
Ничего подобного там не подразумевается.

[gefest_md]

Otta, почему? По определению «о» малого в скобках стоит функция. Какая функция $h$? Тождественная.

[Otta]

Ну хорошо, если быть дотошным, педантичным и пр., то да, можно написать все эти буквы и функции, что не привносит никакого дополнительного понимания. Пишем же $o(x^2)$, не вводя при этом дополнительных обозначений. Всегда было понятно, о чем идет речь.
Вопрос ТС естественен и он не про о-малые.

[gefest_md]

Solaris86 в сообщении #1325446 писал(а):

что функцию в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ можно представить в виде ${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)}$

или что найдется $\alpha=o(h)$ такое, что $\forall h\colon{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+\alpha(h)}$. Поэтому подставлять $h=1$ можно только после того, как выбрана $\alpha.$

[thething]

Да тут в этом определении

Solaris86 в сообщении #1325446 писал(а):

функцию в окрестности ${\displaystyle U(x_{0})}$ можно представить в виде ${\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)}$

просто упущена концовка. В таких равенствах с о-малыми всегда через запятую надо указывать базу, в данном случае, $h\to 0$. Указание базы, по-моему, как раз и отбивает желание подставлять конкретные $h$ (по крайней мере внутрь значка $o$).

[Munin]

thething
Полезное замечание! А то у меня глаз замылился, не вижу, что чего-то не хватает.

[TOTAL]

Solaris86 в сообщении #1325446 писал(а):

Вот и вопрос: я не понимаю, что такое о-функция от конкретного числа и как её вычислять.

Вот так и вычислять: $o(h)=\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Ah$

[Otta]

А после этого убедиться, что она о-маленькое :) Че-то мы зациклились.