Причём это, как правило, даже не указывается в соответствующем учебнике по алгебре или анализу. Можно сказать, что аксиома выбора общепринята среди всех математиков, которые не занимаются конкретно теорией множеств и прочими основаниями.
Так и есть. Пока я не начал достаточно серьёзно интересоваться аксиоматической теорией множеств, я даже не понимал, когда использую в своих рассуждениях аксиому выбора, и мне пришлось учиться распознавать её неявное использование. Она позволяет формализовать совершенно естественные рассуждения, которые часто используются в математическом анализе и не только там. Предложения заменить аксиому выбора аксиомой детерминированности, которые когда-то встречались, выглядят дикостью, даже несмотря на то, что в том математическом анализе, который студенты изучают на первом курсе, ничего не изменится. Аксиома детерминированности, конечно, очень интересна (в основном специалистам в дескриптивной теории множеств), но весьма контринтуитивна, а её непосредственное применение, в отличие от аксиомы выбора, выглядит совершенной головоломкой. И уж совершенно точно такая замена не прибавит конструктивности.
Не надо взваливать всю неконструктивность на аксиому выбора.
Во-первых, неконструктивность аксиомы выбора точно такая же, как у определения непустого множества. Когда мы говорим "множество
непустое; возьмём любой элемент
", мы допускаем точно такую же неконструктивность, как при использовании аксиомы выбора.
Во-вторых, аксиома выбора (возможно, с некоторыми ограничениями, я тут не специалист) верна и в конструктивной математике: если у нас конструктивно задано некоторое семейство множеств, и у нас есть конструктивное доказательство того, что все эти множества непустые, то тем самым мы можем конструктивно указать элемент в каждом из множеств семейства.
На самом деле от аксиомы выбора зависит даже определение бесконечного множества как множества, равномощного своему собственному подмножеству. Хотел написать "...которое используется повсеместно", но понял, что это лишь моё ощущение, которое я не готов подкрепить списком примеров.
Определение бесконечного множества по Дедекинду, которое Вы привели, возможно, где-то и используется, но в современной литературе вряд ли. Основным является определение "множество бесконечно, если оно не равномощно никакому начальному отрезку натурального ряда" (или никакому натуральному числу, если натуральные числа определять стандартным в теории множеств способом). Как раз из-за того, что эти определения без аксиомы выбора могут оказаться не равносильными, а нам хочется, чтобы мощность конечного множества выражалась натуральным числом.
Вообще, всякие споры о допустимости использования аксиомы выбора запоздали уже на много десятилетий.
