6 последовательных натуральных чисел

[Ktina]

Существуют ли 6 последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 2 таким образом, чтобы произведение шести полученных в результате чисел равнялось произведению шести исходных чисел?

Попытка решения:

Среди шести последовательных натуральных чисел ровно три нечётных, причём их остатки при делении на 4 могут быть либо 1, 3, 1 (назовём это зелёным случаем), либо 3, 1, 3 (а этот случай пусть будет сливочно-белым). При изменении каждого из шести чисел на 2 зелёный случай меняется на сливочно-белый, и наоборот. Но в зелёном случае у нас произведение всех трёх нечётных чисел даёт остаток 3 при делении на 4, а в сливочно-белом случае - остаток 1.

Только вот у нас ведь есть ещё три чётных числа! Они-то всё решение и портят.
Пожалуйста, помогите разобраться. Заранее благодарю.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Soul Friend]

правильно ли я понял задачу:

$$f(x): (x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5))-((x \pm 2)(x+1 \pm 2)(x+2 \pm 2)(x+3 \pm 2)(x+4 \pm 2)(x+5 \pm 2)) = 0$$

я бы разложил числа от $x-2$ до $x+7$ на простые множители и поискал их равнозначные комбинации, но подсмотрел графику и не увидел решения в $x \in N$.

[kotenok gav]

А может решить 64 уравнения 4 степени?

[gris]

Почему четвёртой? Не больше третьей разве?

[Soul Friend]

для последователей Бурбаки есть решение при $x=0$.

[Someone]

Большинство — пятой степени, некоторые — четвёртой. Но целых положительных корней я не отыскал.
Wolfram Mathematica:

x =.;For[k=0,k<64,k++,DD=k;SS={};
 For[m=1,m<=6,m++,If[OddQ[DD],SS=Append[SS,2];DD=(DD-1)/2,SS=Append[SS,-2];DD=DD/2]];
  P=Factor[Product[(x+m-1),{m,6}]-Product[(x+m-1+SS[[m]]),{m,6}]];
  Print[SS,": ",P];Print[Solve[P==0,x]]]

[kotenok gav]

Каким образом пятой? Пятые степени сокращаются.

[Aritaborian]

Натуральных не нашёл. Mathematica:

Solve[(Times @@ (Range[x, x + 5]) - Times @@ (Range[x, x + 5] + #) == 0), x] & /@ Tuples[{-2, 2}, 6] // Column

[Someone]

kotenok gav в сообщении #1323803 писал(а):

Каким образом пятой? Пятые степени сокращаются.

Вы не перепутали? Там же разность многочленов шестой степени с одинаковыми старшими коэффициентами, так что шестые степени сокращаются, а пятые сокращаться не обязаны.

$$x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-(x+2)(x+1-2)(x+2+2)(x+3-2)(x+4+2)(x+5+2)=$$

$$=336+476x+66x^2-112x^3-42x^4-4x^5=-2(1+x)(2+x)(4+x)(-21+7x+2x^2)$$

$$x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-(x+2)(x+1-2)(x+2+2)(x+3-2)(x+4-2)(x+5+2)=$$

$$=112+276x+238x^2+84x^3+10x^4=2(1+x)(2+x)(4+x)(7+5x)$$

[kotenok gav]

Someone в сообщении #1323816 писал(а):

Вы не перепутали?

Перепутал.

[gris]

Я вот чего-то не пойму. Ведь разность равна нулю. И минимум два положительных сомножителя сокращаются?

[Someone]

gris в сообщении #1323826 писал(а):

И минимум два положительных сомножителя сокращаются?
Я вот чего-то не пойму. Ведь разность равна нулю. И минимум два положительных сомножителя сокращаются?

Э-э-э… А с какой стати их сокращать-то? Раскрыть скобки и привести подобные члены — это я понимаю. А "сократить" так можно вообще всё и оставить $1$.

[gris]

Например, для варианта $+++---$:
$x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=(x+2)(x+3)(x+4)(x+1)(x+2)(x+3)$
$x(x+5)=(x+2)(x+3)$
$x^2+5x=x^2+5x+6$
$0=6$
Нет решений. Или я не так понимаю? Как можно получить $1=1$
Ну если на вход альфы подавать, то тогда конечно. Там шестая степень. А если вручную приспичит?
И всё же ТС имел в виду не перебор даже и с сокращением, а нечто модулярное?