2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16025
Новомосковск
gris в сообщении #1323835 писал(а):
$0=6$
Нет решений.
Ну, Вы же все множители, которые могут обращаться в $0$, сократили, так чего же хотите? А до сокращения были корни $-1$, $-2$, $-3$, $-4$. Которые нас, разумеется, не интересуют, поскольку речь идёт о натуральных числах.

gris в сообщении #1323835 писал(а):
Как можно получить $1=1$
Если левая часть не равна правой — никак. Я имел в виду, что, если всё перенести в левую часть и сократить на неё, то получим $1=0$.

gris в сообщении #1323835 писал(а):
А если вручную приспичит?
$$x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-(x+2)(x+3)(x+4)(x+1)(x+2)(x+3)=0$$ $$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x(x+5)-(x+2)(x+3))=0$$ $$-6(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=0$$ Конечно, перебирать вручную все $64$ варианта весьма обременительно.

gris в сообщении #1323835 писал(а):
И всё же ТС имел в виду не перебор даже и с сокращением, а нечто модулярное?
Да, похоже. Но такого решения пока никто не придумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 21:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13314
Спасибо :-)
Ну я могу в своё оправдание сказать, что имел в виду, что для решения уравнения шестой степени иногда достаточно решить три квадратных. А здесь не бывает неразложимого на множители уравнения степени выше третьей. В общем, ерунда по сравнению с 1\4.

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение02.07.2018, 06:50 
Аватара пользователя


12/10/16
273
Almaty, Kazakhstan

(Оффтоп)

можно пересказать задание так:
Есть ли чётное число $Z$ такое, что десять (минимум семь) делители его - последовательные числа $x_a, x_b, x_c, x_d, x_e, x_f, x_k, x_l, x_m, x_n$ (без порядкового учёта), из которых можно составить :
$$Z=x_ax_bx_cx_dx_ex_f=x_ax_bx_kx_lx_mx_n$$

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение14.07.2018, 07:13 
Аватара пользователя


12/10/16
273
Almaty, Kazakhstan
Попробую опровергнуть:
Среди шести последовательных чисел третье или четвёртое будет нечётным (чёт и нечёт чередуются), и это нечётное число имеет простой делитель $p\geq3$, следовательно, следующее нечётное число, имеющее в простых делителях это же просто число, будет отдалён как минимум на $6\leq\pm xp$ от начального нечётного числа, что уже выходит за рамки новой преобразованной последовательности. Тем самым, изначальная и новая последовательности имеют разные простые делители, и производные этих последовательностей будут разные. Так же, новая последовательность будет иметь своё такое отличительное нечётное число.
Разумно будет взаимно преобразовать числа друг в друга ?, $+$, $+$, $-$, $-$, ? тогда вместо вопросительных знаков одно будет чётное, другое нечётное. (с отличием простого делителя $2$)

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение16.07.2018, 10:25 


26/08/11
1721
Soul Friend в сообщении #1326629 писал(а):
Тем самым, изначальная и новая последовательности имеют разные простые делители, и производные этих последовательностей будут разные. Так же, новая последовательность будет иметь своё такое отличительное нечётное число.
Не обязательно. Любое простое само по себе может сохраниться, в конце концов кто то из его соседей по четности может перейти в него. Например
$5,6,7,8,9,10 \to 3,4,5,10,7,12$ - тут все простые те же и только степень тройки не равняется.
В задаче четные переходят в четные. Последовательные четные числа имеют вид (пишу только наибольшую степень двойки)

a) $2^k,2,4\;k\ge 3$ (либо в обратном порядке)

Тут $2^k\to 2,4\to 2$ и степень двойки не может сохраниться.

b) $2,2^k,2\;k\ge 2$

Равенство возможно только если $2\to 4,2^k \to 2, 2\to 4$, тоесть, $k=3$. Или четные числа в последовательности: $8t-2,8t,8t+2$ где $t$ - нечетное число. И обязательные переходы: $8t-2\to 8t-4,\;8t+2\to 8t+4$

Или все числа: $8t-2,8t-1,8t,8t+1,8t+2$ и либо $8t-3$, либо $8t+3$

В последовательности есть нечетный множитель $t$. "Новые" четные взаимнопростые с $t$. Остальные могут иметь общий делитель с $t$

либо 3 ($8t-1\to 8t-3$ и/или $8t+1\to 8t+3$)

либо 5 ($8t\pm 3 \to 8t \pm 5$)

$t$ не может делиться на 9, т.к первое произведение будет делится на $27$, а новое, с учетом обязательных переходов - нет. Аналогично, не может делится и на $25$

Следовательно $t \in \{1,3,5,15\}$. Конечный перебор, решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение16.07.2018, 18:31 
Аватара пользователя


12/10/16
273
Almaty, Kazakhstan
Чётные делимые на простое $3$ я учёл, и привёл в конце один пример(для общего случая), вот ещё другой:
$+$?-$+$?- (вместо вопросительного знака может быть как минус, так и плюс)
то есть, все три числа с простым делителем $3$ должны присутствовать и в новой последовательности, иначе две последовательности (их произведения) будут содержать разное количество простого делителя $3$.
$$\frac{(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5))}{((x+2)(x+1+2)(x+2-2)(x+3-2)(x+4-2)(x+5+2))}=1$$
Этот вариант наиболее близок к единице (бесконечно стремится к ней)

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение16.07.2018, 21:03 


26/08/11
1721
Soul Friend в сообщении #1327102 писал(а):
то есть, все три числа с простым делителем $3$ должны присутствовать и в новой последовательности, иначе две последовательности (их произведения) будут содержать разное количество простого делителя $3$.
Не понял. В первой последовательности ровно 2 числа делятся на три, в новой - от 0 до 4, как захочется. Что должно былть?
Soul Friend в сообщении #1327102 писал(а):
Этот вариант наиболее близок к единице (бесконечно стремится к ней)
Так по мне, что ни делай, отношение всегда будет стремится к единице (при $x\to \infty$), но какое отношение имеет это к задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение17.07.2018, 06:05 
Аватара пользователя


12/10/16
273
Almaty, Kazakhstan
Shadow в сообщении #1327145 писал(а):
В первой последовательности ровно 2 числа делятся на три, в новой - от 0 до 4, как захочется. Что должно былть?

Должно выполнятся и в первой и во второй :
$$b(3x\cdot3(x-1)\cdot3(x+1))=z$$
иначе, вы не сможете компенсировать отсутствие простого числа.
Shadow в сообщении #1327145 писал(а):
Так по мне, что ни делай, отношение всегда будет стремится к единице (при $x\to \infty$), но какое отношение имеет это к задаче?

Это я и пытаюсь доказать. Что делимый и делитель не одно и тоже число.

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение17.07.2018, 18:56 
Аватара пользователя


12/10/16
273
Almaty, Kazakhstan
Что если расширить задачу ТС таким образом, что количество последовательных чисел не шесть, а $2n$, и менять мы можем их не на четыре, а на $(n-1)$ ? (в остальном всё так же)
Гипотеза:
Когда $n$ простое число, решений нет, а когда $n$ составное число, то в некоторых случаях есть решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group