2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение23.06.2018, 20:41 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Существуют ли 6 последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 2 таким образом, чтобы произведение шести полученных в результате чисел равнялось произведению шести исходных чисел?

Попытка решения:

Среди шести последовательных натуральных чисел ровно три нечётных, причём их остатки при делении на 4 могут быть либо 1, 3, 1 (назовём это зелёным случаем), либо 3, 1, 3 (а этот случай пусть будет сливочно-белым). При изменении каждого из шести чисел на 2 зелёный случай меняется на сливочно-белый, и наоборот. Но в зелёном случае у нас произведение всех трёх нечётных чисел даёт остаток 3 при делении на 4, а в сливочно-белом случае - остаток 1.

Только вот у нас ведь есть ещё три чётных числа! Они-то всё решение и портят.
Пожалуйста, помогите разобраться. Заранее благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение24.06.2018, 13:41 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.06.2018, 11:41 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 11:47 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
правильно ли я понял задачу:
$$f(x): (x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5))-((x \pm 2)(x+1 \pm 2)(x+2 \pm 2)(x+3 \pm 2)(x+4 \pm 2)(x+5 \pm 2)) = 0$$
я бы разложил числа от $x-2$ до $x+7$ на простые множители и поискал их равнозначные комбинации, но подсмотрел графику и не увидел решения в $x \in N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 13:23 


21/05/16
4292
Аделаида
А может решить 64 уравнения 4 степени?

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Почему четвёртой? Не больше третьей разве?

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 15:14 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
для последователей Бурбаки есть решение при $x=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 16:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Большинство — пятой степени, некоторые — четвёртой. Но целых положительных корней я не отыскал.
Wolfram Mathematica:
Код:
x =.;For[k=0,k<64,k++,DD=k;SS={};
For[m=1,m<=6,m++,If[OddQ[DD],SS=Append[SS,2];DD=(DD-1)/2,SS=Append[SS,-2];DD=DD/2]];
  P=Factor[Product[(x+m-1),{m,6}]-Product[(x+m-1+SS[[m]]),{m,6}]];
  Print[SS,": ",P];Print[Solve[P==0,x]]]

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 17:33 


21/05/16
4292
Аделаида
Каким образом пятой? Пятые степени сокращаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 18:09 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Натуральных не нашёл. Mathematica:
Код:
Solve[(Times @@ (Range[x, x + 5]) - Times @@ (Range[x, x + 5] + #) == 0), x] & /@ Tuples[{-2, 2}, 6] // Column

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 19:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
kotenok gav в сообщении #1323803 писал(а):
Каким образом пятой? Пятые степени сокращаются.
Вы не перепутали? Там же разность многочленов шестой степени с одинаковыми старшими коэффициентами, так что шестые степени сокращаются, а пятые сокращаться не обязаны.

$$x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-(x+2)(x+1-2)(x+2+2)(x+3-2)(x+4+2)(x+5+2)=$$ $$=336+476x+66x^2-112x^3-42x^4-4x^5=-2(1+x)(2+x)(4+x)(-21+7x+2x^2)$$
$$x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-(x+2)(x+1-2)(x+2+2)(x+3-2)(x+4-2)(x+5+2)=$$ $$=112+276x+238x^2+84x^3+10x^4=2(1+x)(2+x)(4+x)(7+5x)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 19:36 


21/05/16
4292
Аделаида
Someone в сообщении #1323816 писал(а):
Вы не перепутали?

Перепутал.

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 19:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Я вот чего-то не пойму. Ведь разность равна нулю. И минимум два положительных сомножителя сокращаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
gris в сообщении #1323826 писал(а):
И минимум два положительных сомножителя сокращаются?
Я вот чего-то не пойму. Ведь разность равна нулю. И минимум два положительных сомножителя сокращаются?
Э-э-э… А с какой стати их сокращать-то? Раскрыть скобки и привести подобные члены — это я понимаю. А "сократить" так можно вообще всё и оставить $1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 6 последовательных натуральных чисел
Сообщение01.07.2018, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Например, для варианта $+++---$:
$x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=(x+2)(x+3)(x+4)(x+1)(x+2)(x+3)$
$x(x+5)=(x+2)(x+3)$
$x^2+5x=x^2+5x+6$
$0=6$
Нет решений. Или я не так понимаю? Как можно получить $1=1$ :?:
Ну если на вход альфы подавать, то тогда конечно. Там шестая степень. А если вручную приспичит?
И всё же ТС имел в виду не перебор даже и с сокращением, а нечто модулярное?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group