2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверка структуры группы
Сообщение01.07.2018, 12:28 


11/12/16
405
сБп
В задаче необходимо проверить, что множество $M = \{0, 1, 2, ..., n-1\} $ с бинарной операцией (обозначим $\otimes$) сложения по $\bmod(n)$ является группой.

Думаю, что не является, так как не выполняется аксиома ассоциативности.

Пример: $(0 \otimes 1) \otimes 2 = 2 \otimes 2 = 1$, $0 \otimes (1 \otimes 2) = 0 \otimes 0 = 0$ для $M^{*} = \{0, 1, 2\} $ со сложением по $\bmod(3)$ .

Проверьте, плиз, что-то может не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка структуры группы
Сообщение01.07.2018, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
$(0 \otimes 1)  = 2 $ :?: .

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка структуры группы
Сообщение01.07.2018, 13:10 


11/12/16
405
сБп
gris, спасибо. Видимо я плохо разобрался с этой темой. Обычно мне попадались операции сложения по $\bmod 2$. В таком случае $0 \oplus 1 = 1$ (это я зазубрил). Ну, поэтому я автоматом подумал, как это так, что по $\bmod (3)$ так же будет единица и написал глупость. :oops:

Может быть подскажите источник, где тема сложения по разным модулям (отличным от 2) хорошо объясняется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка структуры группы
Сообщение01.07.2018, 13:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Это сравнения по модулю, арифметика остатков, кольца вычетов (к сложению прекрасно добавляется и умножение по тому же модулю) и другие синонимы. Там есть разные уровни и выходы в алгебру, теорию чисел, криптографию и прочие области.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка структуры группы
Сообщение01.07.2018, 13:43 


11/12/16
405
сБп
Спасибо. В данной задаче можно рассмотреть какой-то один случай (пусть $n=3$) или её нужно решать в более общем случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка структуры группы
Сообщение01.07.2018, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496
Это для опровержения хватило бы одного случая. А для доказательства придётся рассмотреть общий случай и проверить все аксиомы группы. Если интересует основательно, то посмотрите "Теорию чисел" Бухштаба. Он уж не отдаёт даже простые вопросы для самостоятельного доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка структуры группы
Сообщение02.07.2018, 20:58 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
gogoshik
Вам может помочь доказать сначала такие факты:
1. $((a + b)\bmod n + c)\bmod n = (a + b + c)\bmod n$.
2. $((a \cdot b)\bmod n \cdot c)\bmod n = (a \cdot b \cdot c)\bmod n$ ← это когда кольца будут.
3. $(a\bmod n)\bmod n = a\bmod n$ (авось и этот тривиальный мог быть забыт).

А группу $\mathbb Z_n$ можно представлять себе как «свёрнутую в рулон» (разного размера в зависимости от $n$) целочисленную прямую $\mathbb Z$. Да и её саму как «рулон» бесконечного радиуса (это находит отражение в терминологии: и $\mathbb Z_n$, и $\mathbb Z$ — и только их — зовут циклическими группами).

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверка структуры группы
Сообщение03.07.2018, 15:33 
Заслуженный участник


01/06/15
1149
С.-Петербург
gogoshik в сообщении #1323768 писал(а):
Видимо я плохо разобрался с этой темой. Обычно мне попадались операции сложения по $\bmod 2$.

Может быть подскажите источник, где тема сложения по разным модулям (отличным от 2) хорошо объясняется?

Ну даже не знаю. По-моему, сложение целых чисел неплохо и в начальной школе объясняют. Сложение "по модулю $n$" - это обычное сложение за тем исключением, что результат "берется по модулю" - т.е. результатом сложения по модулю является остаток от деления обычной суммы (обычных целых чисел) на $n$. Примеры взятия модуля:

$$\begin{array}{rcl}
 2\bmod 3&=&2 \\
 3\bmod 3&=&0 \\
 4\bmod 3&=&1 \\
\end{array}
$$и т.д.

А сложение по модулю, пока результат $<n$, - самое обычное (уже без дополнительных оговорок).

Как уже упоминали, визуально это можно представить, как закольцовывание цепочки целых чисел, когда $n$ отождествляется с $0$.
Кстати, со сложением по модулю 10 мы сталкиваемся с раннего детства, когда узнаём о десятичной системе записи чисел и учимся складывать в столбик: каждый разряд результата - это сумма соответствующих разрядов слагаемых по модулю 10 (нюансы с переносом в след. разряд тут не существенны).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: sergey zhukov, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group