Выборка из выборки, помогите найти ошибку.

[asyrov]

Выбираем $N$ чисел от $0$ до $99$ (с одинаковой вероятностью и возвратом). Из получившегося набора выбираем $10$ чисел (снова с возвратом числа обратно в выборку и одинаковой вероятностью). Вопрос, какова вероятность, что среднее значение второй выборки (из $10$ чисел) отличается от среднего значения первой ($N$ элементов) больше чем на $20$.

Мой расчёт даёт хороший результат если $N > 15$, но занижает для малых $N$.

Например если $N=30$, $A$ - первая выборка и $X$ - вторая выборка, $U$ - дискретное равномерное распределение от $0$ до $99$.

Я рассчитал дисперсию дискретного распределения $U$:

$$D[U]=\frac{((99-0+2)(99-0))}{12}=833.25$$

Диспeрсию выборки $A$:

$$D[A]=\frac{29}{30}D[U]=805.5$$

Дисперсию среднего значения выборки $X$:

$$D[\overline X]=\frac{D[A]}{10}=80.55$$

После этого питон:

p = stats.norm(0, math.sqrt(80.55)).cdf(-20) * 2

И я получил $0.02585$ (симуляция даёт $0.02572$). Однако для, например $N=2$ мои вычисления дают около $0.002$, а симуляция около $0.015$ (в разы больше). Подскажите, где ошибка.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Евгений Машеров]

Наивный ответ сходу. Потому, что при N=2 распределение среднего никак не будет нормальным.

[asyrov]

Евгений Машеров в сообщении #1323746 писал(а):

Наивный ответ сходу. Потому, что при N=2 распределение среднего никак не будет нормальным.

Спасибо за помощь, но...

Нормальность от выборки A не требуется (мы не требуем нормальности от распределения орла и решки: если мы рассмотрим распределение ее выборки из 10 бросков, то такое биномиальное распределения будет достаточно близко выражаться через нормальное, не говоря уже о распределении среднего).

[Евгений Машеров]

Тем не менее Вы используете для расчёта формулу нормального распределения. А при малых N аппроксимирующая сила такого приближения крайне скромная. Для случая N=2 у Вас в выборке два элемента, повторяющиеся разное число раз. И распределение из среднего от нормального отличается сильно.

[asyrov]

Извините, другие версии есть?

-- 01.07.2018, 23:31 --

Для малыx N, вычисления строго занижают, и это закономерность.
Кто может подсказать где ее функция?

[asyrov]

Вот как выглядит, для наглядности.https://ibb.co/ejJ3HJ

[--mS--]

Ну, если мало соображений о плохой аппроксимации нормальным, то дисперсия среднего арифметического новой выборки вычислена неверно. Вот тут https://nsu.ru/phorum/read.php?f=6&i=25733&t=25733 есть правильные вычисления, и ответ для $N=2$, $k=10$ будет в пять с половиной раз большим.

$$ \mathsf D\overline X = \frac{N+k-1}{Nk} \cdot\mathsf D A = \frac{11}{20}\cdot \mathsf D A \neq \frac{\mathsf D A}{10}. $$

(Оффтоп)

Сейчас недосуг переписать сюда формулы, как вернусь с экзамена - сделаю.

[asyrov]

В общем я разобрался где ошибся, спасибо Евгений и --mS--

[--mS--]

(Оффтоп)

Ну тогда я не буду переписывать формулы.