Не могу понять часть доказательства теоремы

[parean]

Читаю первый том Зорича, столкнулся с теоремой, в которой не могу понять один момент:

|P(z)| > \max$\lbrace$1,2$\mu$$\rbrace$ при |z| > R, если R достаточно велико
Что значит "если R достаточно велико"? Это же радиус, который по формуле Коши-Адамара однозначно определяется полиномом, а теорема доказывается для любого полинома. Как для какого-то фиксированного полинома он может быть "недостаточно большим"? Я не понимаю эту формулировку. Саму оценку я тоже не понимаю, если честно, видимо она вытекает из неравенства выше, но я не могу осознать как.

Буду очень признателен, если кто-нибудь сможет подсказать

[mihaild]

parean в сообщении #1322594 писал(а):

Что значит "если R достаточно велико"? Это же радиус

Нет, не радиус.
Формально будет $\exists R: \forall z: |z| > R \rightarrow |P(z)| > \ldots$.
Т.е. можно выбрать такое $R$, что, если $|z| > R$, то и модуль значения полинома будет больше чего там нужно.

Такие оценки можно получать очень просто: прикиньте, чему равен предел каждого слагаемого в скобке, а потом и всей скобки, при $z \to \infty$.

[ewert]

parean в сообщении #1322594 писал(а):

Саму оценку я тоже не понимаю, если честно, видимо она вытекает из неравенства выше, но я не могу осознать как.

Я тоже не понимаю (точнее, лень понимать), если честно, но вот что полезно иметь в виду.

1). Из "неравенства выше" с очевидностью следует, что при всех достаточно больших $z$ (т.е. вне достаточно большого замкнутого круга) модуль многочлена больше любой наперёд заданной границы -- вот в т.ч. и этой, если захочется именно её. Зачем именно она -- чтобы обеспечить включение $|P(z_k)|\in[\mu;\mu+\frac1k)$ (первое неравенство Зорич сделал строгим по рассеянности). Зачем именно это включение -- и вообще почему доказательство у Зорича вышло настолько вязким?

2). Потому, что он зажевал два принципиальных факта.

1. Принцип компактности: из любой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

2. Теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на ограниченном замкнутом подмножестве комплексной плоскости, достигает на нём своего минимума (и максимума, конечно, но здесь нужен минимум). Между прочим, мгновенно следует из принципа компактности ровно так же, как и для одной вещественной переменной.

Фактически он эти факты доказывает здесь же, на весу, но применительно к очень частному случаю, и совершенно напрасно. Если б он их выделил заранее, то логика доказательства стала бы совершенно прозрачной. Вне достаточно большого круга $|P(z)|>\mu$, поэтому искать точку $z_0$, в которой $|P(z_0)|=\mu$, достаточно только в этом замкнутом круге, а в нём она существует по теореме Вейерштрасса. И остаётся лишь чисто технический вопрос -- почему при этом $\mu\neq0$ не есть хорошо.

[parean]

ewert в сообщении #1322615 писал(а):

parean в сообщении #1322594 писал(а):

Саму оценку я тоже не понимаю, если честно, видимо она вытекает из неравенства выше, но я не могу осознать как.

Я тоже не понимаю (точнее, лень понимать), если честно, но вот что полезно иметь в виду.

1). Из "неравенства выше" с очевидностью следует, что при всех достаточно больших $z$ (т.е. вне достаточно большого замкнутого круга) модуль многочлена больше любой наперёд заданной границы -- вот в т.ч. и этой, если захочется именно её. Зачем именно она -- чтобы обеспечить включение $|P(z_k)|\in[\mu;\mu+\frac1k)$ (первое неравенство Зорич сделал строгим по рассеянности). Зачем именно это включение -- и вообще почему доказательство у Зорича вышло настолько вязким?

2). Потому, что он зажевал два принципиальных факта.

1. Принцип компактности: из любой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

2. Теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на ограниченном замкнутом подмножестве комплексной плоскости, достигает на нём своего минимума (и максимума, конечно, но здесь нужен минимум). Между прочим, мгновенно следует из принципа компактности ровно так же, как и для одной вещественной переменной.

Фактически он эти факты доказывает здесь же, на весу, но применительно к очень частному случаю, и совершенно напрасно. Если б он их выделил заранее, то логика доказательства стала бы совершенно прозрачной. Вне достаточно большого круга $|P(z)|>\mu$, поэтому искать точку $z_0$, в которой $|P(z_0)|=\mu$, достаточно только в этом замкнутом круге, а в нём она существует по теореме Вейерштрасса. И остаётся лишь чисто технический вопрос -- почему при этом $\mu\neq0$ не есть хорошо.

Спасибо большое, после Вашего сообщения я всё понял.

Про R тут просто не очень понятно написано, имеется ввиду радиус произвольной окружности вокруг $z$, увеличивая который, мы в определенный момент придем к радиусу, по величине равному радиусу сходимости, который и будет "достаточно большим".

А по поводу оценки, она тут написана из следующих соображений:
При достаточно большом $k$

Если $\mu > 0 $
$ \frac{1}{k} < \mu = 2\mu - \mu < |P(z_k)| - \mu$, при $z\to\infty$

Если $\mu \leqslant 0$
$ \frac{1}{k} < 1 - \mu < |P(z_k)| - \mu$, при $z\to\infty$

То есть просто демонстрируется, что при определенных $z$ мы не сможем ограничить разность сверху дробью $\frac{1}{k}$

[Otta]

parean в сообщении #1322680 писал(а):

мы в определенный момент придем к радиусу, по величине равному радиусу сходимости,

Что Вам так понравился радиус сходимости с Коши-Адамаром. Чего сходимость-то? Тут ни ряда нет, ни вообще ничего, сходимость чего можно было бы рассматривать.

Имеется в виду внешность круга достаточно большого радиуса. Насколько большого? Настолько, чтобы вне круга выполнялось указанное неравенство.

[parean]

Otta в сообщении #1322684 писал(а):

parean в сообщении #1322680 писал(а):

мы в определенный момент придем к радиусу, по величине равному радиусу сходимости,

Что Вам так понравился радиус сходимости с Коши-Адамаром. Чего сходимость-то? Тут ни ряда нет, ни вообще ничего, сходимость чего можно было бы рассматривать.

Имеется в виду внешность круга достаточно большого радиуса. Насколько большого? Настолько, чтобы в нем выполнялось указанное неравенство.

Ой, действительно, спасибо

[ewert]

Покаюсь:

ewert в сообщении #1322615 писал(а):

Вне достаточно большого круга $|P(z)|>\mu$, поэтому

Вообще-то для сохранения логики нужно как раз $|P(z)|>2\mu$ (с учётом предполагаемой ненулёвости $\mu$) или что другое -- но непременно с некоторым запасом. Но какая разница, что делать запасом, если нижнюю границу мы можем всё равно выбирать как заблагорассудится.