Саму оценку я тоже не понимаю, если честно, видимо она вытекает из неравенства выше, но я не могу осознать как.
Я тоже не понимаю (точнее, лень понимать), если честно, но вот что полезно иметь в виду.
1). Из "неравенства выше" с очевидностью следует, что при всех достаточно больших

(т.е. вне достаточно большого замкнутого круга) модуль многочлена больше любой наперёд заданной границы -- вот в т.ч. и этой, если захочется именно её. Зачем именно она -- чтобы обеспечить включение

(первое неравенство Зорич сделал строгим по рассеянности). Зачем именно это включение -- и вообще почему доказательство у Зорича вышло настолько вязким?
2). Потому, что он зажевал два принципиальных факта.
1. Принцип компактности: из любой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
2. Теорема Вейерштрасса: функция, непрерывная на ограниченном замкнутом подмножестве комплексной плоскости, достигает на нём своего минимума (и максимума, конечно, но здесь нужен минимум). Между прочим, мгновенно следует из принципа компактности ровно так же, как и для одной вещественной переменной.
Фактически он эти факты доказывает здесь же, на весу, но применительно к очень частному случаю, и совершенно напрасно. Если б он их выделил заранее, то логика доказательства стала бы совершенно прозрачной. Вне достаточно большого круга

, поэтому искать точку

, в которой

, достаточно только в этом замкнутом круге, а в нём она существует по теореме Вейерштрасса. И остаётся лишь чисто технический вопрос -- почему при этом

не есть хорошо.