the bounded variation functions

[zoo]

Пусть $M\subset \mathbb{R}^m$ -- огран. область с гладкой границей.
Рассмотрим пространство
$BV=\{u\in L^1(M)\mid \|u\|_{BV}=\|u\|_{L^1(M)}+\sup\{\int_Mu(x)\frac{\partial}{\partial x_k} \psi(x)dx\mid k=1...m,\quad \psi\in \mathcal{D}(M),\quad |\psi(x)|\le 1\}<\infty\}$
Верно ли, что вложение $BV\subset L^1(M)$ компактно?

[Bard]

zoo
Я, видимо, не понял условия. Если функция

\[ \psi \left( {x - a} \right) \]

,

\[ a \in M \]

удовлетворяет, поставленным условиям, функция

\[ \psi _\varepsilon \left( x \right) = \psi \left( {\varepsilon ^{ - 1} (x - a)} \right) \]

тоже удовлетворяет этим условиям, но supremum будет равен бесконечности, т.к.

\[ \varepsilon \]

можно взять сколь угодно малым.

[zoo]

Bard писал(а):

zoo
Я, видимо, не понял условия. Если функция

\[ \psi \left( {x - a} \right) \]

,

\[ a \in M \]

удовлетворяет, поставленным условиям, функция

\[ \psi _\varepsilon \left( x \right) = \psi \left( {\varepsilon ^{ - 1} (x - a)} \right) \]

тоже удовлетворяет этим условиям, но supremum будет равен бесконечности, т.к.

\[ \varepsilon \]

можно взять сколь угодно малым.

Вы правильно поняли условие, только не учли того, что при уменьшении $\varepsilon$ носитель функции стоящей под интегралом тоже будет "уменьшться" и интеграл вместе с ним соответствено.

Вообще это явно не студенческий вопрос, следовало бы перенести его на общий форум.

[Bard]

Да, действительно, я не учёл, что носитель уменьшается. Спасибо

[Gafield]

Ну, в одномерном случае это верно. Также как и для пространства $L_2([0,1])$ в предыдущей теме о функциях ограниченной вариации. План доказательства следующий. Если посл. функций $\{f_n\}$ ограничена в $BV[0,1]$, то она ограничена константой $F=\sup_nV_0^1[f_n]$. Функцию $f$ из $BV[0,1]$ можно представить в виде разности монотонных, причем их можно выбрать так, чтобы модули также оценивались через $F$. Поэтому достаточно доказать равностепенную непрерывность в $L_1([0,1])$ для монотонных функций $g$, $\sup |g|\le F$. Продолжив м.ф. $g$ на $\mathbb R$ константами $g(0)$ и $g(1)$ влево и вправо соответственно, получим функцию на $\mathbb R$ с той же вариацией, что и исходная. Усредняя стандартным образом с помощью свертки с гладкой дельтообразной последовательностью, получим семейство $g_\varepsilon$, $0<\epsilon<1$, монотонных функций с той же вариацией. Записывая интегральную сумму Римана для $\int_0^1|g_\varepsilon(x+h)-g_\varepsilon(x)|\,dx$, при $n\in [lh^{-1},(l+1)h^{-1})$, $l\in\mathbb N$, получим:

$$ \frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}|g_\varepsilon(h+\frac kn)-g_\varepsilon(\frac kn)|\le \frac {l+1}n V_0^1[g]\le 4hF. $$

Отсюда, по модулю некоторых мелочей, вытекает равностепенная напрерывность $g$ в $L_1([0,1])$.

[zoo]

Gafield писал(а):

Ну, в одномерном случае это верно. Также как и для пространства $L_2([0,1])$ в предыдущей теме о функциях ограниченной вариации. План доказательства следующий. Если посл. функций $\{f_n\}$ ограничена в $BV[0,1]$, то она ограничена константой $F=\sup_nV_0^1[f_n]$.

а Вас не смущает, что функции из $BV$ определены с точностью до множества меры нуль? Интересно, а как Вы собираетесь считать $V_0^1$ для таких функций?

[Gafield]

Для одномерного случая я исходил из стандартного определения в Колмогорове, Фомине. Думаю, оно должно совпадать с общим, иначе получилось бы, что те, кто переносил определение на многомерный случай, одинаково обозвали классическое пространство и что-то с ним не совпадающее при $n=1$. Следует только сказать стандартное заклинание "существует представитель..." :

[AD]

Ну то есть классическая норма в факторпространстве - инфимум норм по векторному многообразию?

[Gafield]

Если это о моем посте в в предыдущей теме, то да. Выражение $V_0^1[f]$ - полунорма, равная нулю на константах. Избавиться от них можно, например, взяв фактор по ним или считая, что $f(0)=0$.

[zoo]

Gafield писал(а):

Для одномерного случая я исходил из стандартного определения в Колмогорове, Фомине. Думаю, оно должно совпадать с общим, иначе получилось бы, что те, кто переносил определение на многомерный случай, одинаково обозвали классическое пространство и что-то с ним не совпадающее при $n=1$. Следует только сказать стандартное заклинание "существует представитель..." :

Ага один представитель с одной $V_0^1$ а другой с другой. Предельно конкретно: меня интересует ответ в точности в смысле того определения, которое написано выше, фантази о том, что должно совпадать с определением из Колмогорова Фомина, а что нет, меня не интересуют.

[Bard]

zoo
Можно использовать теорему из книги Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева 1985, стр. 249, в которой говорится о том, что при Ваших условиях существует последовательность

\[ \left\{ {u_m } \right\} \]

функций из

\[ C^\infty \left( \Omega \right) \]

такая, что

\[ u_m \to u \]

в

\[ L_1 \left( \Omega \right) \]

и

\[ \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \int_\Omega {\left| {\nabla u_m } \right|dx} = \left\| u \right\|_{BV(\Omega )} \]

.
Далее, если воспользоваться известным неравенством для гладких функций

\[ \int_\Omega {\left| {u(x + h) - u(x)} \right|dx} \le \left| h \right|\left\| {\nabla u} \right\|_{L_1 } \]

,
то по признаку Рисса получаем компактность вложения.
Здесь, конечно используется свойства области

\[ \Omega \]

, возможность продолжения функций.
Книгу Мазьи В.Г. можно найти с помощью сайта
http://www.poiskknig.ru.

[ewert]

Ну хорошо. Мне лень об этом думать, но вот какое соображение. Из исходной ограниченности вроде как следует, что класс интересующих нас функций никак не шире, чем $W_1^1$. Ну мне так кажется; может, я и не прав. А вложение соболевского класса вроде всегда компактно в соотв. интегральный.

Только не бейте.

Добавлено спустя 20 минут 44 секунды:

Кстати, тут проскочило про компактность в $L_1[0;1]$ функций ограниченной вариации. И зачем-то там какие-то сглаживания упоминались. Ну так ни к чему всё это. Если оценивать норму в эль-один разности монотонных функций -- так она просто оценивается (ввиду монотонности) суммой интегралов по $h$- окрестностям крайних точек -- нуля и единицы. Которые, в свою очередь, оцениваются максимумами функций, умноженными на $h$. Откуда тривиально и следует равностепенная непрерывность и, следовательно, компактность.

Но -- это так, к слову.

[Bard]

ewert
Из определения следует, что BV - пространство функций, обобщённые производные которых являются мерами.

[zoo]

Bard писал(а):

zoo
Можно использовать теорему из книги Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева 1985, стр. 249, в которой говорится о том, что при Ваших условиях существует последовательность

\[ \left\{ {u_m } \right\} \]

функций из

\[ C^\infty \left( \Omega \right) \]

такая, что

\[ u_m \to u \]

в

\[ L_1 \left( \Omega \right) \]

и

\[ \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \int_\Omega {\left| {\nabla u_m } \right|dx} = \left\| u \right\|_{BV(\Omega )} \]

.
Далее, если воспользоваться известным неравенством для гладких функций

\[ \int_\Omega {\left| {u(x + h) - u(x)} \right|dx} \le \left| h \right|\left\| {\nabla u} \right\|_{L_1 } \]

,
то по признаку Рисса получаем компактность вложения.
Здесь, конечно используется свойства области

\[ \Omega \]

, возможность продолжения функций.
Книгу Мазьи В.Г. можно найти с помощью сайта
http://www.poiskknig.ru.

спасибо да, похоже это адекватно, непонятно только почему этот факт не отмечен в книжке

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

ewert писал(а):

Ну хорошо. Мне лень об этом думать, но вот какое соображение. Из исходной ограниченности вроде как следует, что класс интересующих нас функций никак не шире, чем $W_1^1$. Ну мне так кажется; может, я и не прав.

Нет не правы.

ewert писал(а):

Кстати, тут проскочило про компактность в $L_1[0;1]$ функций ограниченной вариации.

Отмечу только, что то что проскочило к исходной задаче отношения не имеет.