Граница диска

[npetric]

Топологическое пространство называется диском, если оно гомеоморфно:
$E^2 =\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 1\rbrace$

Границей диска называются точки, переходящие при гомеоморфизме в $S^1$. Можно показать, что данное определение корректно: оно не зависит от гомеоморфизма.

Дайте подсказку, как доказать корректность, пожалуйста.

[Someone]

Найдите топологическое различие между внутренними и граничными точками диска. И покажите, что это различие сохраняется при гомеоморфизмах.

[npetric]

Я пока что додумался до следующего. Каждая счётная база в точке $x$ $\lbrace U_n^x\rbrace$ каждой точки внутренности $x$ обладает таким свойством, что каждая компонента связности пространства $U_n^x$ гомеоморфна $\mathbb{R}^2$, начиная с некоторого $n$. Это верно, если любое связное открытое подмножество $\mathbb{R}^2$ гомеоморфно $\mathbb{R}^2$.Никакая точка границы таким свойством не обладает, и если то, что я написал выше, верно, то всё доказано.

Отсюда смежный вопрос: верно ли, что всякое связное открытое подпространство $\mathbb{R}^2$ гомеоморфно ему? И как это доказать

[eugensk]

npetric в сообщении #1321495 писал(а):

всякое связное открытое подпространство $\mathbb{R}^2$ гомеоморфно ему

Возьмём, например, кольцо. Плоскость односвязна, кольцо нет, значит они не гомеоморфны, значит, не всякое.

npetric в сообщении #1321495 писал(а):

Каждая счётная база в точке $x$ $\lbrace U_n^x\rbrace$ каждой точки внутренности $x$ обладает таким свойством,

Что-то сомневаюсь, что это здесь нужно. Может, можно показать что требуется, исходя только из определений?

[npetric]

Да, действительно. А верно ли, что всякое односвязное открытое подмножество $\mathbb{R}^2$ гомеоморфно ему? В таком случае можно чуть изменить доказательство, рассматривая только окрестности с односвязными компонентами.

Не уверен, что это стоит доказывать именно так, но вопрос сам по себе интересен.

[Someone]

npetric в сообщении #1321500 писал(а):

А верно ли, что всякое односвязное открытое подмножество $\mathbb{R}^2$ гомеоморфно ему?

Не усложняйте себе задачу. Вы не можете разве сразу взять базу из множеств, гомеоморфных $\mathbb R^2$?

[nya]

npetric в сообщении #1321500 писал(а):

Да, действительно. А верно ли, что всякое односвязное открытое подмножество $\mathbb{R}^2$ гомеоморфно ему?

Да, даже биголоморфно, это то что теоремой Римана называется.

[npetric]

Но тогда непонятно, как доказать для точки границы, что такой базы не существует.

[nya]

Докажите сперва, что замкнутая полуплоскость и плоскость не гомеоморфны, я думаю это поможет.

[Someone]

npetric в сообщении #1321509 писал(а):

Но тогда непонятно, как доказать для точки границы, что такой базы не существует.

Аккуратное доказательство, скорее всего, весьма нетривиальное, но в таких задачах обычно подобные утверждения считаются самоочевидными. Есть какая-то теорема об инвариантности области. В вашей ситуации, конечно, всё может быть совсем не так, но это уж Вы сами должны знать, что именно от Вас требуют. Вы какую дисциплину-то изучаете?

[nya]

Мне кажется довольно тривиальное и теорема об инвариантности области не очень нужна. Достаточно понимать почему проколотая плоскость не стягиваема и что стягиваемость это инвариант гомеоморфизма.

[npetric]

Цитата:

Докажите сперва, что замкнутая полуплоскость и плоскость не гомеоморфны, я думаю это поможет.

Это понятно, вопрос в другом.

У каждой точки внутренности и у любой счётной базы в этой точке существует подбаза такая, что любая односвязная компонента связности любой её окрестности гомеоморфна $\mathbb{R}^2$.
Для каждой точки границы можно привести базу, состоящую из множеств, гомеоморфных замкнутой полуплоскости.

Теперь всё доказано, но, как утверждают выше, можно проще

-- 21.06.2018, 15:08 --

Топологию. Конкретно это утверждение приводится в книжке по алгебраической топологии, даже не в упражнениях, а просто в тексте. Мне подобное часто встречается и я хочу уметь доказывать это строго

[nya]

Я думаю это и так достаточно просто, но можно и без слова "база": точки окружности делятся на два класса - у которых есть окрестность гомеоморфная $\mathbb{R}^2$ и у которых есть окрестность гомеоморфна $\mathbb{R}^2_{x\geq 0}$.

[npetric]

У любой точки есть окрестность второго типа

[nya]

npetric
Думаю всё же нет, каким определением "окрестности" вы пользуетесь?