Граница диска

[npetric]

Топологическим. Окрестность = открытое множество

[nya]

а, сглупил, значит базы по делу были

[SomePupil]

Разве все не следует просто из определения граничной точки? Граничные точки определяются через окрестности, а все, что определяется через окрестности, по определению не зависит от гомеоморфизмов. Утверждение верно для границы любого множества, а не только диска. Или я чего-то не понимаю?

[npetric]

В топологическим пространстве все точки внутренние. Границы появляются только когда мы начинаем говорить о его подмножествах. В данном утверждении "граница" и топологическая граница - не одно и то же

[SomePupil]

npetric, а теперь понятно)

[Someone]

npetric в сообщении #1321517 писал(а):

У каждой точки внутренности и у любой счётной базы в этой точке существует подбаза такая, что любая односвязная компонента связности любой её окрестности гомеоморфна $\mathbb{R}^2$.

Это утверждение точно неверно (контрпример придумайте сами). А то, что у каждой внутренней точки есть база из множеств, гомеоморфных $\mathbb R^2$, вполне очевидно: в стандартном диске можно взять базу из открытых кругов с центром в данной точке. При гомеоморфизме это свойство сохраняется.

npetric в сообщении #1321525 писал(а):

В топологическим пространстве все точки внутренние.

У Вас же не просто топологическое пространство, а диск, в котором некоторое подмножество определено как "граница". И эта "граница" не имеет прямого отношения к границе подмножества топологического пространства.

[npetric]

nya
А что там с теоремой Римана, я так до конца и не понял? Когда начинаю гуглить, натыкаюсь на теорему из комплексного анализа (с ним я пока не знаком). Можете, пожалуйста, привести ссылку?

Я так понимаю, утверждение о гомеоморфизме обобщается следующим образом: пусть открытое подпространство $\mathbb{R}^n$ стягиваемо, тогда оно гомеоморфно $\mathbb{R}^n$

Как это доказать?

-- 21.06.2018, 15:58 --

Someone
Контрпример я не могу придумать. Возможно, я торможу.

Подбазу базы в точке выбираем так: берём из базы в точке всё множества, которые при вложении в $\mathbb{R}^2$ окажутся открытыми. Понятно, что это также будет базой в точке.

Каждая компонента связности будет при этом открытой, потому что пространство локально связно. Если мы возьмём какую-нибудь односвязную компоненту, то она будет открытой и односвязной при вложении в $\mathbb{R}^2$, поэтому, если верить nya, будет гомеоморфна $\mathbb{R}^2$

-- 21.06.2018, 16:01 --

Someone

То, что можно взять хорошую базу для внутренних точек, ясно. Но это не решает задачу, а просто перекладывает всю сложность на граничные точки, ИМХО

[Someone]

npetric в сообщении #1321532 писал(а):

Подбазу базы в точке выбираем так: берём из базы в точке всё множества, которые при вложении в $\mathbb{R}^2$ окажутся открытыми.

Э-э-э… Обычно базу определяют как семейство открытых подмножеств. Тем более, что Вы написали

npetric в сообщении #1321521 писал(а):

Окрестность = открытое множество

npetric в сообщении #1321532 писал(а):

Если мы возьмём какую-нибудь односвязную компоненту

Откуда она возьмётся? В общем, не морочьте себе голову. База окрестностей, гомеоморфных целой плоскости (для внутренних точек) или замкнутой полуплоскости (для граничных точек), существует просто по определению топологии диска. И нужно только доказать, что полуплоскость не гомеоморфна целой плоскости.

npetric в сообщении #1321517 писал(а):

Топологию.

Какую именно? Общую, алгебраическую, дифференциальную…

[npetric]

Цитата:

Э-э-э… Обычно базу определяют как семейство открытых подмножеств

Открытые в диске не обязательно останутся открытыми при вложении диска в $\mathbb{R}^2$ - этого нужно избежать

Цитата:

Откуда она возьмётся

Если она не возьмётся, то и говорить не о чем - всё верно

Сейчас изучаю общую и алгебраическую

-- 21.06.2018, 16:41 --

Если Вы можете доказать проще, то приведите доказательство, пожалуйста

-- 21.06.2018, 16:44 --

Цитата:

И нужно только доказать, что полуплоскость не гомеоморфна целой плоскости.

Нет, не только. Также необходимо доказать, что у точек внутренности не будет такой базы, как у точек границы, и наоборот. Разве нет?

[vpb]

Короче. Подумайте, какова фундаментальная группа пространства $E^2\setminus\{x\}$ в случаях, когда $x$ или лежит на границе диска, или не лежит.

[npetric]

vpb
Точно! Спасибо:)

[vpb]

На здоровье!

[Someone]

npetric в сообщении #1321541 писал(а):

Если она не возьмётся, то и говорить не о чем - всё верно

Что "всё"? Вы найдёте открытое множество, но у него не будет односвязных компонент. Плоскость имеет базу, состоящую из связных, но не односвязных открытых множеств. Дальше что?

npetric в сообщении #1321541 писал(а):

Открытые в диске не обязательно останутся открытыми при вложении диска в $\mathbb{R}^2$

Пожалуйста, изложите доказательство в связном виде. Я уже потерял ход ваших рассуждений. Чтобы было ясно, какой гомеоморфизм рассматривается, где стандартный диск, где гомеоморфный ему… Постарайтесь не привлекать лишних рассуждений.

[vpb]

Someone
Гм... По моему, однако ж, по другому не получается, кроме как с привлечением какой-то алгебраической топологии (или Вы знаете другой путь) ?

npetric
Есть, кстати говоря, обобщение на бОльшие размерности, см. А. Дольд, Лекции по алгебраической топологии, глава "Евклидовы окрестностные ретракты". Там же теорема Жордана и т.д. (Но сам я эту главу в молодости так и ниасилил).

-- 21.06.2018, 16:43 --

P.S. Давненько не брал я в руки шашек Дольда, поэтому кое-что перепутал. "Евклидовы окрестностные ретракты" --- это не глава, а последний параграф в главе 4, к тому же не нужный для наших целей. А само утверждение --- это теорема Брауэра, в Дольде предложение IV.3.9.

[npetric]

Someone в сообщении #1321548 писал(а):

npetric в сообщении #1321541 писал(а):

Если она не возьмётся, то и говорить не о чем - всё верно

Что "всё"? Вы найдёте открытое множество, но у него не будет односвязных компонент. Плоскость имеет базу, состоящую из связных, но не односвязных открытых множеств. Дальше что?

Это, повторюсь, ничего не ломает. Искомый топологический инвариант, позволяющий отличить точку окрестности от точки границы -- результат применения к ней, точке $x$, импликации:
Для любой счётной базы в $x$ $\lbrace U_n^x \rbrace_{n=1}^{\infty}$ существует подбаза $\lbrace U_{n_k}^x \rbrace_{k=1}^{\infty}$, для которой верна следующая импликация: "компонента связности $K$ окрестности $U_{n_k}^x$ односвязна $\implies$ $K \simeq \mathbb{R}^2$"

Если в базе вообще нет односвязных множеств, то говорить не о чем -- она выполняется.

Думаю, счётность здесь ни при чём, правда, но пусть будет -- обозначения удобны.

Очевидно, эта импликация не выполняется для точек границы: достаточно взять в качестве $\lbrace U_n^x \rbrace$ базу, которую вы предлагали -- каждая окрестность которой гомеоморфна замкнутой полуплоскости.

Для произвольной точки внутренности подбазу $\lbrace U_{n_k}^x \rbrace$ выбираем следующим образом. Для каждого $n$ рассматриваем множество $P = in(h(U_n^x))$, $in: D^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ -- понятно какое вложение обычного диска $D^2 \subset \mathbb{R}^2$ в евклидово пространство, $h: X \rightarrow D^2$ -- гомеоморфизм диска на обычный диск. Если $P \subset \mathbb{R}^2$ открыто в $\mathbb{R}^2$, то включаем данную окрестность в подбазу.

Ясно, что это будет базой в точке $x$, если $x$ находится во внутренности диска $X$. Любая компонента связности $K$ пространства $U_{n_k}^x$ открыта, поскольку $X$ локально связно и $U_n^x$ открыто, следовательно, локально связно. $in(h(K))$ открыто в $\mathbb{R}^2$ в силу выбора $U_{n_k}^x$.

Если $K$ односвязно в $X$, то $K' = in(h(K))$ односвязно и открыто в $\mathbb{R}^2$, $K' \simeq \mathbb{R}^2, K' \simeq K \implies K \simeq \mathbb{R}^2$. Стало быть, импликация верна для любой точки внутренности диска