Механика - математика?

[SomePupil]

Недавно здесь прочитал, что механика больше относится к математике, чем к физике. Я, признаюсь, очень удивлен этому, ведь я думал, что механика всецело относится к физике. В связи с этим следующие вопросы. Означает ли это, что в механике есть аксиомы (или даже разные аксиоматики) и строгие доказательства? И почему кафедры механики обычно находятся в физических отделениях? Не находятся ли трудящиеся на этих кафедрах в положении "свой среди чужих, чужой среди своих"?)

[Pphantom]

SomePupil в сообщении #1321042 писал(а):

Означает ли это, что в механике есть аксиомы (или даже разные аксиоматики) и строгие доказательства?

В общем-то да. Физические законы, определяющие поведение классических механических систем, хорошо известны, соответственно, их можно рассматривать как аксиомы. Поэтому при работе в этой области принципиально новые (с точки зрения физики) результаты получать негде, все можно (не без труда, конечно) вывести из базовых принципов, как следствие, это действительно более прикладная математика, чем физика.

SomePupil в сообщении #1321042 писал(а):

И почему кафедры механики обычно находятся в физических отделениях?

Потому что это не так. Характерная именно для бывшего СССР традиция - разделять физфаки и матмехи/мехматы.

[Munin]

SomePupil в сообщении #1321042 писал(а):

Недавно здесь прочитал, что механика больше относится к математике, чем к физике.

Скорее, это либо "спорная" область, либо можно считать "механику в физике" и "механику в математике" двумя одноимёнными, но различающимися областями.

SomePupil в сообщении #1321042 писал(а):

Означает ли это, что в механике есть аксиомы (или даже разные аксиоматики) и строгие доказательства?

Да, но ровно так же, как и в других физических теориях. Физическая теория (по нормам 20 века, в 19 веке это зачастую было не так) представляет собой замкнутый математический аппарат, в котором математические модели тех или иных явлений и задач позволяют получить однозначный математический же ответ (не всегда его возможно интерпретировать физически). Иногда одной теорий называется целая система таких математических аппаратов.

Например, можно рассмотреть такие физические теории, как:
- геометрическая оптика;
- теория линейных электрических цепей (постоянного тока, переменного тока одной частоты, переходные процессы);
- электростатика;
- термодинамика идеального газа; (если задать уравнение состояния, то можно рассмотреть и другие вещества);
- специальная теория относительности;
- квантовая механика (особенно одночастичная КМ Шрёдингера);
и так далее, и тому подобное. В них вводятся аксиоматики (называемые в физике наборами постулатов), и доказываются строгие теоремы, такие как закон сохранения энергии или что-то ещё.

SomePupil в сообщении #1321042 писал(а):

Означает ли это, что в механике есть аксиомы (или даже разные аксиоматики)

Не знаю, знакомы ли вы с этим - школьникам об этом не говорят, а в вузе обычно известно - механик по меньшей мере три, или это можно воспринимать как три аксиоматики, традиционно применяемых в механике:
- механика Ньютона (школьные три закона);
- механика Лагранжа;
- механика Гамильтона.
Они между собой эквивалентны на задачах школьного уровня, но в целом не эквивалентны (подробностей не расскажу). Две последних аксиоматики изучают под названием "теоретическая механика", или старое название "аналитическая механика".

[eugensk]

Munin в сообщении #1321072 писал(а):

Не знаю, знакомы ли вы с этим - школьникам об этом не говорят, а в вузе обычно известно - механик по меньшей мере три, или это можно воспринимать как три аксиоматики, традиционно применяемых в механике:
- механика Ньютона (школьные три закона);
- механика Лагранжа;
- механика Гамильтона.

Можно посмотреть здесь http://publ.lib.ru/ARCHIVES/A/ARNOL%27D ... ..html#003
Арнольд В.И. Математические методы классической механики, каждая в своей главе.

(Оффтоп)

Надеюсь когда-нибудь прочесть эту книгу.

[Red_Herring]

Сейчас придет pogulyat_vyshel и будет сильно ругаться (и за дело).

Прежде всего, на механических отделениях мехматов/матмехов/матфаков изучают не только, и не столько классическую механику (т.е. механику точек и абсолютно твердых тел), но и механику сплошных сред, которую можно разделить на механику жидкости и газа и на механику твердого тела (теория упругости плюс пластичности).

Но даже и в классической механике есть еще теория неголономных систем, которая не вполне лагранжева или гамильтонова.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1321082 писал(а):

Но даже и в классической механике есть еще теория неголономных систем, которая не вполне лагранжева или гамильтонова.

Насколько я понимаю, её всё-таки строят как развитие лагранжева или гамильтонова формализма.

Конечно, вкратце изложить содержание большой научной области невозможно. Например, есть ещё теория удара.

Но и в физике есть много того, что должно бы относиться к механике, однако в "математическую механику" не входит. Это, например, вопросы трения и истирания, крайне актуальные при расчёте механизмов. Прочность и деформация за пределами линейной, разрушение материала. Вибрации (?).

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1321086 писал(а):

Прочность и деформация за пределами линейной

математическая механика включает в себя и нелинейную.

[Metford]

Red_Herring
Я не боюсь чьей-либо ругани. Даже сильной Поэтому пару слов скажу.

Начну с аналогии. Есть же предмет, обычно идущий под названием "Уравнения математической физики". Там математики обычно учат, как решать уравнения в частных производных (если что, я говорю о том, как физиков учат; в образование математиков, как обычно, не вторгаюсь). Но при этом было бы забавно объявить частью математики электродинамику, поэтому что в УМФ решают уравнение Пуассона или Гельмгольца; а ещё кинетику за уравнение теплопроводности - не говоря о разнообразных кинетических уравнениях. Ну и так далее.
С другой стороны, математики в механику привнесли свой подход (я его как-то для себя окрестил схоластическим), превратив её в исследование определённых типов задач, после чего предмет явно следовало бы переименовать, чтобы не вводить публику в заблуждение. Есть же чья-то оценка учебника Ламба по гидродинамике, мол, его можно изучить и не понять, что вода мокрая - примерно так. Так же, ознакомившись с механикой в исполнении математиков, можно не понять, что это всё про мир наш. Иногда даже складывается впечатление, что там люди далеко не всегда задумываются о физической интерпретации сделанного.
А с третьей стороны (последней ), в какой-то момент титаны типа Лагранжа привнесли в физику много математики по меркам своего времени - а теперь это не воспринимается как зашкаливающий уровень формализма. Так что, наверное, физикам нужно математику подучить, а математикам при активной работе в физических областях быть поближе к народу. А Карфаген предмет должен быть разрушен переименован.

[Munin]

Metford в сообщении #1321094 писал(а):

Иногда даже складывается впечатление, что там люди далеко не всегда задумываются о физической интерпретации сделанного.

Никогда не задумываются - так вернее сказать :-)

Например, теорема о том, что шар, катаясь по внутренней поверхности шероховатого цилиндра, никогда не опустится ниже некоторой высоты - физически очевидно противоречит реальности.

----------------

И я ещё напомню о "третьей  ипостаси " роли теоретической механики: служить основой матаппарата всей остальной физики, наплевав на собственно механические приложения. Я говорю про лагранжев и гамильтонов аппараты в теории поля, в квантовой механике, в статистической физике, и так далее. Задачи перед ними стоят не те же, что в "механической механике", и не те, которые ставят "математические механики".

[fred1996]

Для себя давно решил, что ньютонова механика - это физика, а тетретическая механика - математика.
По следующим соображениям.
Я всегда обьясняю школьникам, что задача физика, это перевести словесное описание задачи на язык формул. Когда это грамотно сделано, считай задача решена. Потому что математика - это в известном смысле наука о тождественных преобразованиях. Поэтому в выписанных формулах уже содержится ответ.
Но в теоретической механике во всем ее обьеме все гораздо сложнее. Даже полная выкладка всех изначальных уравнений зачастую ничего не проясняет.
Короче, чистый физик это тот, кто умеет составлять уравнения, но не умеет их решать. А чистый математик, это тот кто не умеет составлять физические уравнения, но зато может их решить. Я, конечно, утрирую. Но в реальной жизни при общении с физиками и матемаиками это именно так и происходит.

(Оффтоп)

и только матфизики умеют и то и другое

[pogulyat_vyshel]

Сейчас поговорю за механику как ее понимают на математических факультетах. Есть такое хорошее емкое понятие «математическая физика». Это раздел математики, а «теоретическая механика» это раздел математической физики.
Фактически изучаются дифференциальные уравнения и производные от них объекты, но эти уравнения и задачи пришли из физики, и результаты могут быть физически проинтерпретированы.
Просто для примера: http://www.mathnet.ru/links/b518d6f48e6afa7670eccddcbc17af7a/de6438.pdf
Если бы эта работа была диссертацией, то ее совершенно спокойно приняли бы к защите как в совете по дифурам, так и в совете по механике.
О разнообразии математических методов в механике можно судить, например, по книжке В. Козлова «Симметрия топология и резонансы в гамильтоновой механике». Это что касается науки.
Естественно, все это задает определенные стандарты преподавания. Думаю, что попытки оправдать математическую неряшливость при чтении механики тем, что это дескать курс не для математиков, а для физиков, совершенно несостоятельны. Да и не только механики. Думаю, что это ненормально рассказывать квантовою механику так, как-будто гильбертовых пространств вообще не существует .

[dsge]

pogulyat_vyshel в сообщении #1321124 писал(а):

результаты могут быть физически проинтерпретированы.
Просто для примера: http://www.mathnet.ru/links/b518d6f48e6 ... de6438.pdf

Ну, в этой замечательной работе как раз никаких физических интерпретаций нет. Есть что-то общее с результатами Нехорошева (но там только гамильтоновы системы; общее - аналитичность), где результаты могут быть физически проинтерпретированы.

[pogulyat_vyshel]

dsge в сообщении #1321128 писал(а):

Ну, в этой замечательной работе как раз никаких физических интерпретаций нет.

Полагаю, что эта работа адресована тем, кто понимает, что динамических систем описываемых уравнениями вида (1.1) хватает

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1321098 писал(а):

Например, теорема о том, что шар, катаясь по внутренней поверхности шероховатого цилиндра, никогда не опустится ниже некоторой высоты - физически очевидно противоречит реальности.

А разве такая теорема есть? Или, точнее, разве она так формулируется? Или все-таки там есть предположение об отсутствии трения (или, точнее, потерь энергии на трение)?

[amon]

fred1996 в сообщении #1321102 писал(а):

Короче, чистый физик это тот, кто умеет составлять уравнения, но не умеет их решать.

Тогда Эйлер - чистый физик. Он не раз доводил задачу до уравнения, после чего писал: "Решай кто может".