Оформление решения ЕГЭ, задание 15

[SpiderHulk]

Задание, сразу с готовым решением: https://ege.sdamgia.ru/problem?id=520804

Меня вот интересует вопрос, не слишком ли оно (решение) лаконичное? Например одной строчкой заявляется на каких промежутках определена правая часть. Я же пытаюсь всё это подробно расписывать и получается уже на этом начальном этапе решаю три неравенства. Пример того как это у меня выглядит в случае когда я обосновываю промежутки на которых определена правая часть:

Цитата:

$2-\frac{1}{x}>0$

$\frac{2x-1}{x}>0$

Найдём значения $x,$ обращающие в нуль числитель или знаменатель дроби:

$x_1=0;$

$2x_2-1=0$
$2x_2=1$
$x_2=\frac{1}{2};$

Воспользуемся методом интервалов:



Будем брать пробные точки из интервалов:

1) $(-\infty; 0),$ пусть $x=-1,$ тогда $\frac{-2-1}{-1}>0;$

2) $(0; \frac{1}{2}),$ пусть $x=0,1,$ тогда $\frac{0,2-1}{0,1}<0;$

3) $(\frac{1}{2}; -\infty),$ пусть $x=1,$ тогда $\frac{2-1}{1}>0;$

Так как неравенство строгое, никаких дополнительных точек к найденным интервалам не присоединяем. Таким образом:

$x\in(-\infty;0)\cup(\frac{1}{2};+\infty);$

В общем полная версия решения заданного в задании неравенства у меня 4 тетрадных страницы занимает и расписывается минут 40. И я опасаюсь, что даже в данном небольшом фрагменте что то не достаточно строго обосновал, пропустил шаг решения или допустил ошибку. А в полной версии решения недочёты найдутся почти наверняка. Например в этом фрагменте я предполагаю наличие следующего недочёта: явно не прописано, что $x_1=0$ обращает знаменатель дроби в $0$

По содержательной части неравенства вопросов нет, вопрос в бессодержательной части, как расписать решение лаконично, но достаточно подробно? Очень надеюсь на помощь участников форума осуществлявших проверку ЕГЭ

[provincialka]

В "решебниках", которые раздавались проверяющим, конечно, решение краткие. Пожалуй, слишком. Но разводить турусы на колесах тоже ни к чему. Вполне достаточно, например, нарисовать ось, пометить на ней характерные точки (некоторые -- выколотые) и указать каким-то образом знаки. Не объясняя, как они получены (главное -- чтобы были верными)

Ну и, конечно, записать результат, в виде совокупности неравенств или в виде объединения интервалов. Но вообще-то для такого простого подсобного неравенства можно и сразу ответ написать.

В конце концов, проверяющий -- тоже человек, и читать трактат "О ловле блох" как-то утомительно...

[Otta]

SpiderHulk в сообщении #1320477 писал(а):

В общем полная версия решения заданного в задании неравенства у меня 4 тетрадных страницы занимает и расписывается минут 40.

Так Вы ничего не успеете.

SpiderHulk в сообщении #1320477 писал(а):

Меня вот интересует вопрос, не слишком ли оно (решение) лаконичное?

Не слишком. Считать ОДЗ, конечно, надо, а не просто писать, чему она равна: авторы текста оставили это читателю. Еще пробел - не упомянуто про положительность аргумента второго логарифма в левой части.

Решение равноценного примера в реальной работе:

Там есть продолжение, но следующей строкой автор, собссно, указывает решение рационального неравенства. (Очень старательный автор, тоже перестраховывался, но не на 4 страницы же.)

[provincialka]

Otta в сообщении #1320495 писал(а):

Еще пробел - не упомянуто про положительность аргумента второго логарифма в левой части.

Вообще говоря, не обязательно. Для выполнения равенства $\log a-\log b = \log\frac ab$ достаточно положительности одного аргумента, например, $a$. При соблюдении этого условия левая и правая часть совпадают как функции: равны, если $b>0$ и не существуют в противном случае.

Соответственно, неравенство $\log a-\log b > \log c$ при положительности $a$ сводится к виду $\log\frac ab > \log c$, что в свою очередь равносильно $\frac ab> c>0$ (если основание логарифма больше 1).

Конечно, по-хорошему, все это надо явно прописать... И куда проще сразу выяснить ОДЗ и не заморачиваться потом логическими изысками.

Кстати, при проверке подобного задания лично мне пришлось поставить много нулей. Удивительно, но школьники, успешно решающие окончательное неравенство, сплошь и рядом писали, что $2-\frac 1x>0$ равносильно $x>1/2$. На окончательный ответ эта ошибка не влияла, но решение не принималась: ошибка грубая.

[Otta]

provincialka в сообщении #1320535 писал(а):

что $2-\frac 1x>0$ равносильно $x>1/2$.

Это вечная ошибка. Если есть потребность кого-то "завалить", лучше этого неравенства нет ничего. Лучше в виде $1/x<2$ )

[provincialka]

Ага! Там ещё подстава была в том, что промежуток $(-\infty,0)$ не пересекается с решением рационального неравенства. То есть его наличие не влияет на ответ. Если сверять только ответы -- всё правильно! А злой экзаменатор ставит 0...

Довольно неплохо для отсеивания списывающих...

[upgrade]

Не понятно, почему и тот кто решил, но с потеряным интервалом, и тот кто даже не приступал к решению, оцениваются одинаково.

[SpiderHulk]

Цитата:

$\log_3(x^2+2)-\log_3(x^2-x+12)\geqslant \log(1-\frac{1}{x})$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2+2>0; \\ x^2-x+12>0; \\ 1-\frac{1}{x}>0; \\ \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{rcl} x\in\mathbb{R}; \\ x\in\mathbb{R}; \\ x\in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty); \\ \end{array} \right.$

$1-\frac{1}{x}>0$

$\frac{x-1}{x}>0$

$x=0$ или $x=1;$

Метод интервалов:



ОДЗ: $x\in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty);$

$\frac{x^2+2}{x^2-x+12}\geqslant 1-\frac{1}{x}$

$\frac{x^2+2}{x^2-x+12}\geqslant \frac{x-1}{x}$

$\frac{x^2+2}{x^2-x+12} - \frac{x-1}{x} \geqslant 0$

$\frac{x(x^2+2)-(x^2-x+12)(x-1)}{x(x^2-x+12)} \geqslant 0$

$\frac{x^3+2x-(x^3-x^2+12x-x^2+x-12)}{x(x^2-x+12)} \geqslant 0$

$\frac{x^3+2x-x^3+x^2-12x+x^2-x+12}{x(x^2-x+12)} \geqslant 0$

$\frac{2x^2+2x-12x-x+12}{x(x^2-x+12)} \geqslant 0$

$\frac{2x^2-11x+12}{x(x^2-x+12)} \geqslant 0$

$x=0$ или $2x^2-11x+12=0;$

$D=121-96=25; \sqrt{D}=5;$

$x=\frac{11-5}{4}=1\frac{1}{2}$ или $x=\frac{11+5}{4}=4;$

Метод интервалов:



Учитывая ОДЗ изначального неравенства:



$x\in (1; 1\frac{1}{2}] \cup [4; +\infty)$

Вот если решение будет расписано именно так, оно будет оценено двумя баллами?

[provincialka]

Вполне, мне кажется!

-- 17.06.2018, 19:32 --

upgrade в сообщении #1320598 писал(а):

Не понятно, почему и тот кто решил, но с потеряным интервалом, и тот кто даже не приступал к решению, оцениваются одинаково.

А я не понимаю, как можно таким образом решить простое неравенство, если претендуешь на знание темы!

[upgrade]

provincialka
Тему полностью не знает никто. ЕГЭ - это оценка уровня знаний математики. Тот кто решит, упустив интервал, в теме глубже того кто вообще ничего не решит и даже не попытается. А оценка ноль их уравнивает, хотя задача из второй части.
Давайте дадим доказывать теорему ферма - все получат нули, но эта оценка не скажет ничего о распределении уровня знаний.

[Otta]

upgrade
Не эксперт принимает решение, кому за что снижать. Все указания спускаются свыше и охватывают более-менее все основные ситуации.

[upgrade]

Otta
Так вот какая хитрость получилась - одинаковые оценки по сложным заданиям - чем сложнее задания, тем двоечники ближе к отличникам

[provincialka]

upgrade в сообщении #1320687 писал(а):

Тему полностью не знает никто.

Хм... решение неравенств с хорошо подобранными корнями? Что тут такого сложного, чего нельзя выучить на уроках математики? Человек, который понимает, что он делает, такой глупости не напишет!

PS. "глупость" -- это я про $x>1/2$, а не о процитированном высказывании.

[Otta]

upgrade в сообщении #1320727 писал(а):

Так вот какая хитрость получилась - одинаковые оценки по сложным заданиям - чем сложнее задания, тем двоечники ближе к отличникам

Не получилась. Много чего получилось, но вот этого не получилось. Не пишите, чего не знаете.

[TOTAL]

SpiderHulk в сообщении #1320477 писал(а):

По содержательной части неравенства вопросов нет, вопрос в бессодержательной части, как расписать решение лаконично, но достаточно подробно? Очень надеюсь на помощь участников форума осуществлявших проверку ЕГЭ

Вот лаконично и достаточно подробно.


Правая часть определена при всех $x$, кроме $x=0$.

При $x>0$ исходное неравенство равносильно $2x-1>0$, т.е. $x>\frac12$, что совместно с $x>0$ дает $x>\frac12$.

При $x<0$ исходное неравенство равносильно $2x-1<0$, т.е. $x<\frac12$, что совместно с $x<0$ дает $x<0$.

Итого: $x>\frac12$ и $x<0$. Всё, подробнее только хуже.