Сигнатура квадратичной формы

[PlotF]

Здравствуйте. Возник вопрос как считать сигнатуру квадратичной функции.
На лекциях сигнатура вводилась как тройка чисел $(A, B, C)$, где
A - количество положительных коэффициентов в сумме квадратов
B - количество отрицательных коэффициентов в сумме квадратов
С - количество нулевых коэффициентов в сумме квадратов
Вопрос 1. $x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3 + 2x_1x_3 = (x_1 + x_2 + x_3)^2. $ Сигнатура $(1, 0, 2)$ -- это пример из лекций.
Вопрос 2. $x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3 = (x_1 + 2x_2 + x_3)^2 - \frac{1}{3}(3x_2 + x_3)^2 + \frac{7}{3}x_3^2$
Каким образом считать эти коэффициенты? Как быть с повторами? В первом примере, часть понятна.
Есть одна скобка и она положительна, значит ставим 1. Затем отсутствие отрицательных скобок. А вот с двойкой понять уже не могу, количество нулевых коэффициентов в сумме квадратов $==$ количество одинарных элементов без квадратов?
Во втором вроде $(1,1,\dots)$, с учётом моего предположения на последнем месте может быть 1.

[Otta]

PlotF в сообщении #1320186 писал(а):

На лекциях сигнатура вводилась как тройка чисел $(A, B, C)$, где
A - количество положительных коэффициентов в сумме квадратов
B - количество отрицательных коэффициентов в сумме квадратов
С - количество нулевых коэффициентов в сумме квадратов

Если предварительно приводить кв. форму к нормальному виду, то вопросы вроде этого:

PlotF в сообщении #1320186 писал(а):

А вот с двойкой понять уже не могу, количество нулевых коэффициентов в сумме квадратов $==$ количество одинарных элементов без квадратов?

отпадают сами собой.

PlotF в сообщении #1320186 писал(а):

Каким образом считать эти коэффициенты? Как быть с повторами?

А так и быть - приводить к нормальному виду. Фактически это и делается.

Вот запишите нормальный вид в первом примере - в новых переменных.

[Slav-27]

Вам надо невырожденной линейной заменой переменных привести форму к виду $y_1^2+...+y_t^2-y_{t+1}^2-...-y_{t+s}^2$, и тогда сигнатура будет $(t,s,d-t-s)$, где $d$ -- размерность векторного пространства, на котором задана ваша квадратичная функция. По-другому сигнатуру записывают

$$ (\underbrace{+\dots+}_{t \text{ плюсов}}\underbrace{-\dots-}_{s \text{ минусов}}\underbrace{0\dots 0}_{n \text{ ноликов}}),$$

где $n=d-t-s$.

Надо знать размерность векторного пространства, на котором определена квадратичная функция. Например у квадратичной функции $x_1^2-x_2^2$ сигнатура $(+-)$, если она рассматривается как функция 2 переменных $x_1$ и $x_2$, а если она рассматривается как функция 5 переменных $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, то сигнатура у неё $(+-000)$.

[PlotF]

Otta
Смотрю многого на лекции коснулись только вскользь, а на семинарах вообще не рассматривалось.
1. Как я понял следует сделать замену $y_1 = x_1 + x_2 + x_3, y_2 = x_2, y_3 = x_3$, и теперь получается $f (y_1, y_2, y_3) = y_1^2$, т.е $(1, 0, 2)$. Двойка вылезает, потому что участвует только $y_1$.
2. Здесь делаю замены $ y_1 = x_1 + 2x_2 + x_3, y_2 = \sqrt{3}(3x_2 + x_3), y_3 = \sqrt{\frac{3}{7}}x_3 $ и получается $f (y_1, y_2, y_3) = y_1^2 - y_2^2 + y_3^2$. Сигнатура получается $(2, 1, 0)$
Правильно?
Slav-27
Мне бы сначала с моим определением разобраться. Ваше какое-то "другое".

[Otta]

PlotF в сообщении #1320202 писал(а):

Двойка вылезает, потому что участвует только $y_1$.

Да, а при квадратах двух других переменных стоят нулевые к-ты.

PlotF в сообщении #1320202 писал(а):

$ y_1 = x_1 + 2x_2 + x_3, y_2 = \sqrt{3}(3x_2 + x_3), y_3 = \sqrt{\frac{3}{7}}x_3 $

Необязательно стремиться делать все к-ты единицами или минус единицами, тем более, что вышло все равно криво. В ваше определение это не заложено. Только знак к-та.

PlotF в сообщении #1320202 писал(а):

Сигнатура получается $(2, 1, 0)$

Правильно.

PlotF в сообщении #1320202 писал(а):

Мне бы сначала с моим определением разобраться. Ваше какое-то "другое".

Да нет, такое же. Потом пообвыкнетесь, еще раз прочитаете и поймете, что такое же.

[PlotF]

Otta
Огромное спасибо. Фух, можно лечь спать со спокойной совестью.

[Otta]

Да не за что. А главное из того, что говорил Slav-27 - вот в чем:
какова сигнатура второй кв. формы, если она задана (например) в шестимерном пространстве?

[PlotF]

Otta
В "моих" обозначениях получается $(2,1,3)$

[Otta]

Вот, правильно.

[Slav-27]

А вот ещё например у формы $(x_1+x_2)^2+(x_1-x_3)^2-(x_2+x_3)^2$ от 3 переменных какая сигнатура?

(ответ)

$(1,1,1)$.

[PlotF]

Slav-27
Что-то я не понимаю. У меня такой ответ не получается. Пробовал раскрывать, может попроще что-нибудь получится, но не удалось. В чем подвох?

[Otta]

К нормальному виду приводят

Slav-27 в сообщении #1320197 писал(а):

невырожденной линейной заменой переменных

[Slav-27]

Казалось бы, замена переменных $y_1=x_1+x_2, y_2=x_1-x_3, y_3=x_2+x_3$ приводит функцию к виду $y_1^2+y_2^2-y_3^2$, и сигнатура $(++-)$ (в ваших обозначениях $(2,1,0)$). Но нет: эта замена вырождена.

[PlotF]

Slav-27
вот-вот. А что такое невырожденная замена, я понять не смог. Нам про такое не рассказывали, поискал ничего не понял.

[Slav-27]

Это значит, что определитель матрицы перехода должен быть не $0$.

Для моей замены $\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\\ y_3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3\\ \end{pmatrix}.$

-- 15.06.2018, 23:02 --

Иными словами, замена должна быть взаимно-однозначная, то есть обратимая.

-- 15.06.2018, 23:05 --

А то если можно какие попало замены, то я сделаю "замену" $x_1=0, x_2=0, ...$ и у всех квадратичных функций будет сигнатура $(0,0,...)$.