2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 18:24 


24/05/17
64
Здравствуйте. Возник вопрос как считать сигнатуру квадратичной функции.
На лекциях сигнатура вводилась как тройка чисел $(A, B, C)$, где
A - количество положительных коэффициентов в сумме квадратов
B - количество отрицательных коэффициентов в сумме квадратов
С - количество нулевых коэффициентов в сумме квадратов
Вопрос 1. $x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3 + 2x_1x_3 = (x_1 + x_2 + x_3)^2. $ Сигнатура $(1, 0, 2)$ -- это пример из лекций.
Вопрос 2. $x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3 = (x_1 + 2x_2 + x_3)^2 - \frac{1}{3}(3x_2 + x_3)^2 + \frac{7}{3}x_3^2$
Каким образом считать эти коэффициенты? Как быть с повторами? В первом примере, часть понятна.
Есть одна скобка и она положительна, значит ставим 1. Затем отсутствие отрицательных скобок. А вот с двойкой понять уже не могу, количество нулевых коэффициентов в сумме квадратов $==$ количество одинарных элементов без квадратов?
Во втором вроде $(1,1,\dots)$, с учётом моего предположения на последнем месте может быть 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 18:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
PlotF в сообщении #1320186 писал(а):
На лекциях сигнатура вводилась как тройка чисел $(A, B, C)$, где
A - количество положительных коэффициентов в сумме квадратов
B - количество отрицательных коэффициентов в сумме квадратов
С - количество нулевых коэффициентов в сумме квадратов

Если предварительно приводить кв. форму к нормальному виду, то вопросы вроде этого:
PlotF в сообщении #1320186 писал(а):
А вот с двойкой понять уже не могу, количество нулевых коэффициентов в сумме квадратов $==$ количество одинарных элементов без квадратов?

отпадают сами собой.
PlotF в сообщении #1320186 писал(а):
Каким образом считать эти коэффициенты? Как быть с повторами?
А так и быть - приводить к нормальному виду. Фактически это и делается.

Вот запишите нормальный вид в первом примере - в новых переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 19:23 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Вам надо невырожденной линейной заменой переменных привести форму к виду $y_1^2+...+y_t^2-y_{t+1}^2-...-y_{t+s}^2$, и тогда сигнатура будет $(t,s,d-t-s)$, где $d$ -- размерность векторного пространства, на котором задана ваша квадратичная функция. По-другому сигнатуру записывают $$ (\underbrace{+\dots+}_{t \text{ плюсов}}\underbrace{-\dots-}_{s \text{ минусов}}\underbrace{0\dots 0}_{n \text{ ноликов}}),$$ где $n=d-t-s$.

Надо знать размерность векторного пространства, на котором определена квадратичная функция. Например у квадратичной функции $x_1^2-x_2^2$ сигнатура $(+-)$, если она рассматривается как функция 2 переменных $x_1$ и $x_2$, а если она рассматривается как функция 5 переменных $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, то сигнатура у неё $(+-000)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 20:19 


24/05/17
64
Otta
Смотрю многого на лекции коснулись только вскользь, а на семинарах вообще не рассматривалось.
1. Как я понял следует сделать замену $y_1 = x_1 + x_2 + x_3, y_2 = x_2, y_3 = x_3$, и теперь получается $f (y_1, y_2, y_3) = y_1^2$, т.е $(1, 0, 2)$. Двойка вылезает, потому что участвует только $y_1$.
2. Здесь делаю замены $ y_1 = x_1 + 2x_2 + x_3, y_2 = \sqrt{3}(3x_2 + x_3), y_3 = \sqrt{\frac{3}{7}}x_3 $ и получается $f (y_1, y_2, y_3) = y_1^2 - y_2^2 + y_3^2$. Сигнатура получается $(2, 1, 0)$
Правильно?
Slav-27
Мне бы сначала с моим определением разобраться. Ваше какое-то "другое".

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 20:28 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
PlotF в сообщении #1320202 писал(а):
Двойка вылезает, потому что участвует только $y_1$.

Да, а при квадратах двух других переменных стоят нулевые к-ты.
PlotF в сообщении #1320202 писал(а):
$ y_1 = x_1 + 2x_2 + x_3, y_2 = \sqrt{3}(3x_2 + x_3), y_3 = \sqrt{\frac{3}{7}}x_3 $

Необязательно стремиться делать все к-ты единицами или минус единицами, тем более, что вышло все равно криво. В ваше определение это не заложено. Только знак к-та.
PlotF в сообщении #1320202 писал(а):
Сигнатура получается $(2, 1, 0)$

Правильно.
PlotF в сообщении #1320202 писал(а):
Мне бы сначала с моим определением разобраться. Ваше какое-то "другое".

Да нет, такое же. Потом пообвыкнетесь, еще раз прочитаете и поймете, что такое же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 20:39 


24/05/17
64
Otta
Огромное спасибо. Фух, можно лечь спать со спокойной совестью. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 20:52 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Да не за что. А главное из того, что говорил Slav-27 - вот в чем:
какова сигнатура второй кв. формы, если она задана (например) в шестимерном пространстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 20:58 


24/05/17
64
Otta
В "моих" обозначениях получается $(2,1,3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 21:00 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Вот, правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 21:06 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
А вот ещё например у формы $(x_1+x_2)^2+(x_1-x_3)^2-(x_2+x_3)^2$ от 3 переменных какая сигнатура?

(ответ)

$(1,1,1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 21:45 


24/05/17
64
Slav-27
Что-то я не понимаю. У меня такой ответ не получается. Пробовал раскрывать, может попроще что-нибудь получится, но не удалось. В чем подвох?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 21:46 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
К нормальному виду приводят
Slav-27 в сообщении #1320197 писал(а):
невырожденной линейной заменой переменных

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 21:48 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Казалось бы, замена переменных $y_1=x_1+x_2, y_2=x_1-x_3, y_3=x_2+x_3$ приводит функцию к виду $y_1^2+y_2^2-y_3^2$, и сигнатура $(++-)$ (в ваших обозначениях $(2,1,0)$). Но нет: эта замена вырождена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 21:55 


24/05/17
64
Slav-27
вот-вот. А что такое невырожденная замена, я понять не смог. Нам про такое не рассказывали, поискал ничего не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сигнатура квадратичной формы
Сообщение15.06.2018, 22:00 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Это значит, что определитель матрицы перехода должен быть не $0$.

Для моей замены $\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\\ y_3\\ \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\\ x_3\\ \end{pmatrix}.$

-- 15.06.2018, 23:02 --

Иными словами, замена должна быть взаимно-однозначная, то есть обратимая.

-- 15.06.2018, 23:05 --

А то если можно какие попало замены, то я сделаю "замену" $x_1=0, x_2=0, ...$ и у всех квадратичных функций будет сигнатура $(0,0,...)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group