Сигнатура квадратичной формы

[PlotF]

Slav-27
А как вы нашли матрицу 3 на 3 ? Как я понимаю, это матрица переход от одного базиса к другому?

[Slav-27]

PlotF
Да, это она и есть. Если вы умножите в правой части равенства матрицу на столбец, то получите

Slav-27 в сообщении #1320232 писал(а):

$y_1=x_1+x_2, y_2=x_1-x_3, y_3=x_2+x_3$

, что и означает, что эта матрица задаёт нашу замену.

-- 15.06.2018, 23:38 --

(Оффтоп)

Я ушёл до завтра.

[PlotF]

Slav-27
Что-то не удаётся мне найти преобразование правильное (с ненулевым определителем). Уже и теорию везде, где мог прочитал. Примеров тучу просмотрел. Таких сложных или подобных не нашёл.

[SomePupil]

PlotF в сообщении #1320228 писал(а):

У меня такой ответ не получается.

А какой у вас ответ получается? Возможно, я ошибаюсь, но у меня тоже другой ответ выходит.

[Slav-27]

$(x_1+x_2)^2+(x_1-x_3)^2-(x_2+x_3)^2$ $=y_1^2+(y_1-y_2)^2-y_2^2$ $=(y_1-y_2)\cdot 2y_1=z_1z_2$ $=(u_1-u_2)(u_1+u_2)$ $=u_1^2-u_2^2$.
Проверьте, что все замены невырожденные.

А вообще для приведения квадратичной функции к нормальному виду есть алгоритм: метод Лагранжа. Там надо просто по всем переменным по очереди "выделять полный квадрат".

[SomePupil]

Как это $-$ было три переменных, а стало две? Определенно что-то не так в нашем королевстве.

[Slav-27]

SomePupil
$u_1^2-u_2^2+0u_3^2$.

[SomePupil]

Нашел ошибку у себя. Slav-27, вы правы.

[Munin]

А разве нет способа найти сигнатуру, считая определители?

[Slav-27]

Munin в сообщении #1320348 писал(а):

А разве нет способа найти сигнатуру, считая определители?

Я не знаю, может и есть.

-- 16.06.2018, 14:40 --

Можно посчитать собственные значения матрицы, которая представляет форму, и посмотреть, сколько получилось положительных, отрицательных и нулевых; соответствующие числа составляют сигнатуру согласно закону инерции.

[SomePupil]

Munin в сообщении #1320348 писал(а):

А разве нет способа найти сигнатуру, считая определители?

Если все главные миноры ненулевые, то можно сразу найти сигнатуру, подсчитав, сколько раз чередуются их знаки. Но это должно сильно фартануть, чтобы они все были ненулевые. Например, для кв. формы Slav-27 такой метод не сработает, так как её матрица вырождена.

[Munin]

Спасибо!

[PlotF]

Извиняюсь, что так долго не отвечал. Почитал теорию, посмотрел примеры и заметил одну интересную вещь.
Что, если записать в "правильном" виде матрицу квадратичной формы, то приведя её к диагональному виду с единицами на диагонали можно будет увидеть удобные замены.
$(x_1 + x_2)^2 + (x_1- x_3)^2 - (x_2+x_3)^2 = 2 x_1^2 + 2x_1 x_2 - 2x_1 x_3 - 2x_2 x_3$
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1& 0 &-1 \\ -1& -1 & 0 \end{pmatrix}$
Привожу к нужному виду :
$\begin{pmatrix} 1& 1/2 & -1/2 \\ 0& 1 & 1\\ 0& 0 & 0 \end{pmatrix}$
Здесь уже видно, что одна из переменных с коэффициентом 0.
Итого :
$2 (x_1 + \frac{x_2}{2}-\frac{x_3}{2})^2 - \frac{1}{2} (x_2 + x_3)^2 $
Делаю замены, которые уже нашёл : $y_1 = x_1 + \frac{x_2}{2}-\frac{x_3}{2}, y_2 = x_2 + x_3, y_3 = 0$
Получается :
$2 y_1^2 - \frac{1}{2} y_2 + 0y_3 $
Сигнатура $(1, 1, 1)$
Как я понял, это происходит из-за того, что Метод Лагранжа это скрытый Метод Гаусса.
P.S.
Сдал на 4. Никогда не понимал, почему так сложно дать студентам пользоваться ПК для проверки своих рутинных расчетов.

[ewert]

(Оффтоп)

PlotF в сообщении #1321839 писал(а):

Никогда не понимал, почему так сложно дать студентам пользоваться ПК для проверки своих рутинных расчетов.

Потому что подразумевается, что те не только рутинно, но и креативненько так весь ответ с инета стырют. Что напрасно: они с тем же успехом и телефоном стырят. Правда, приблизительно со 100%-й гарантией так и не поймут, что стырили -- и, соответственно, ни слова и произнести не смогут.

[PlotF]

ewert

(Оффтоп)

Я сейчас начал проходить Линейную алгебру на Coursera. Встретил там несколько заданий хитрых, но простых. Чисто на понимание. Если уж я понял, что можно давать такие задания, то получается кто-то просиживает свои штаны на работе.
Проверить списал ли студент или нет очень легко, парочку наводящих вопросов и всё. Но это наверно не в наших реалиях. У одного препода уже был случай, наорал на мою однокурссницу из-за того, что она калькулятор достала. Она разволновалась и расплакалась. Потом пришёл её отец и душевно поговорил с преподом, больше он так не делал. Спокойной пользовались калькуляторами. Сам факт смещен, 21 век и универ, а ты считаешь в столбик или в уме.