Программа для визуализации многомерных тел

[Mikhail_K]

Навеяно недавней темой.

Как известно, есть разные способы визуализации многомерных тел - например, трёхмерные сечения, диаграммы Шлегеля.

В Википедии есть много красивых рисунков: см. например https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 0%BA%D0%B8 и ссылки там.

Ещё больше интересного в научно-популярном фильме Dimensions - там показано, в частности, как постепенно изменяется сечение при прохождении разных четырёхмерных многогранников через трёхмерное пространство. (Отмечу, что содержание фильма к этим картинкам не сводится.)

Но всё-таки хочется иметь возможность вручную, самому покрутить-повертеть четырёхмерные многогранники, порассекать их трёхмерным пространством с разных сторон, визуализировать различные проекции.
Есть ли такая программа в открытом доступе, которая это позволяет?

Нашёл в Интернете вот это: https://pikabu.ru/story/4d_vrashchenie_ ... mi_5431659
Но тут слишком мало доступных многогранников (зато в программу вклеены сочинения автора на тему религиозной философии).
Хочется, чтобы были как минимум все правильные четырёхмерные.
А в идеале - ещё и полуправильные.
Может, где-то такое есть?

[Mikhail_K]

И такая программа существует: Stella 4D
Думаю, многим будет интересно взглянуть.

Правда, в бесплатной демо-версии четырёхмерных многогранников кот наплакал (нету даже правильных 120-ячейника и 600-ячейника), но в полной версии их многие тысячи, включая правильные, полуправильные, разнообразные призмы и многочисленные невыпуклые и звёздчатые четырёхмерные многогранники.

Вот, например, на первой картинке гиперкуб и одно его трёхмерное сечение (причём показано, как оно расположено в гиперкубе). Сечения можно двигать.
На второй картинке - невыпуклый великий 600-ячейник, и тоже одно из его сечений (справа).
На третьей - 24-ячейник (для наглядности изображены не все ячейки). Всё можно крутить и вертеть, каждую ячейку можно пощупать, скрыть её если она мешается, а потом снова отобразить.

[kotenok gav]

[grizzly]

Оставлю здесь эту ссылку. Ничего особо мощного или наглядного (явно слабее того, что нашёл Mikhail_K) и пояснений больше, чем картинок, но пусть будет для разнообразия.

Подтверждаю, что стоящих ресурсов по визуализации высших размерностей в сети на удивление мало. Я тоже пытался искать.

[Mikhail_K]

grizzly в сообщении #1319740 писал(а):

Оставлю здесь эту ссылку
. Ничего особо мощного или наглядного (явно слабее того, что нашёл Mikhail_K) и пояснений больше, чем картинок, но пусть будет для разнообразия.

Спасибо. Да, хоть и не программа, но картинки есть в достаточном количестве для того, чтобы составить себе некое минимальное представление об устройстве каждого тела. Есть и правильные, и полуправильные выпуклые четырёхмерные многогранники. А пояснения бывают не менее ценны, чем картинки. Очень полезная ссылка.

[Munin]

grizzly
Спасибо, очень интересно и много материала!

[arseniiv]

Думаю, есть смысл делиться кодом — видимо, трудно сделать одну программу на все случаи жизни, вот их и нет почти, а небольшие куски кода могут быть написаны для любого случая. Например, в Mathematica можно при желании изображать и сечения, и разные цветные проекции четырёхмерных фигур. С политопами будет, конечно, сложнее, чем если просто взять некоторое облако точек, но задача-то полностью механическая.

(У меня такого кода нет, интерес не заходил ещё так далеко.)

[Munin]

arseniiv в сообщении #1319848 писал(а):

Например, в Mathematica можно при желании изображать и сечения, и разные цветные проекции четырёхмерных фигур.

Пожалуйста, приведите сечение 4-куба 3-плоскостью, перпендикулярной главной диагонали, и проходящей на ${}^3\!/\!_8$ длины диагонали от вершины. (Для куба $(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ это плоскость $x+y+z+w=1.$) Хочу проверить, правильно ли я вообразил :-)

[arseniiv]

Я вот надеюсь, что Aritaborian знает, есть ли там какие-то встроенные штуки для работы с произвольными политопами (что-то для игр с многогранниками там есть, но я и это не изучал). Так что я могу, конечно, но это будет велосипед. А так я слов о механичности задачи не возьму назад, но это не значит, что надо будет долго сидеть, выписывая функцию деления политопа подпространством, вот честно лень. Надеялся, кому-то другому будет интереснее.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1319860 писал(а):

Пожалуйста, приведите сечение 4-куба 3-плоскостью, перпендикулярной главной диагонали, и проходящей на ${}^3\!/\!_8$ длины диагонали от вершины. (Для куба $(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ это плоскость $x+y+z+w=1.$) Хочу проверить, правильно ли я вообразил

Усечённый тетраэдр с 12 вершинами, координаты которых получаются перестановками $(-1,0,1,1)$. Четыре треугольные грани, четыре шестиугольные.

[SharkAV]

Munin в сообщении #1319860 писал(а):

Пожалуйста, приведите сечение 4-куба 3-плоскостью, перпендикулярной главной диагонали, и проходящей на ${}^3\!/\!_8$ длины диагонали от вершины. (Для куба $(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ это плоскость $x+y+z+w=1.$) Хочу проверить, правильно ли я вообразил

Mikhail_K в сообщении #1319890 писал(а):

Усечённый тетраэдр с 12 вершинами, координаты которых получаются перестановками $(-1,0,1,1)$. Четыре треугольные грани, четыре шестиугольные.

Что-то вроде этого:

RegionPlot3D[-1 <= 1 - x - y - z <= 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1,
   1}, AxesLabel -> {"x", "y", "z"}]

[Mikhail_K]

SharkAV в сообщении #1319899 писал(а):

Что-то вроде этого:

Но это должен быть правильный усечённый тетраэдр.

Красная вершина на рисунке - это $(1,1,1,1)$.

[SharkAV]

Mikhail_K в сообщении #1319900 писал(а):

Но это должен быть правильный усечённый тетраэдр.

Mikhail_K в сообщении #1319890 писал(а):

Усечённый тетраэдр с 12 вершинами, координаты которых получаются перестановками $(-1,0,1,1)$.

Ну да, у меня именно так и получается, разница только в точке зрения. На видео красными точками обозначены приведенные выше вершины.


UPD: Поменял картинку на видео

[Mikhail_K]

SharkAV в сообщении #1319911 писал(а):

разница только в точке зрения

Ну да, "разница в точке зрения" заключается в том, что у Вас не само сечение, а его проекция на $Oxyz$-пространство. Что, конечно, не особо мешает.

[Aritaborian]

arseniiv в сообщении #1319866 писал(а):

Я вот надеюсь, что Aritaborian знает, есть ли там какие-то встроенные штуки для работы с произвольными политопами (что-то для игр с многогранниками там есть, но я и это не изучал).

Боюсь, что богатыми методами для работы для работы с многогранниками в простанстве размерности больше трёх Mathematica не обладает. Да, для трёхмерных там есть возможности поиграться, но мы не об этом беседуем. Далее по теме могу лишь сказать, что более полезного тематического софта, чем упомянутая Stella, я, к сожалению не знаю.