Поток векторного поля через поверхностный интеграл

[thething]

Ну я же сказал, что Вы обрезали сферическую шапку. Тем самым все точки сферы $0<r<R\sqrt{2}$ уже не рассматриваются. Снизу же, при $R<r<R\sqrt{3}$ вообще плоская площадка -- это и есть третья часть поверхности. Остаётся только боковой сферический слой $R\sqrt{2}<r<R\sqrt{3}$.

-- 10.06.2018, 18:59 --

С цилиндром, кстати, ровно та же история, только сквозная дыра в области будет одинаковой ширины. Наверное, Ваше недоумение из-за того, что вы думаете не о поверхности, а о теле. В случае тела, действительно, из-за сужения гиперболоида, внутри будут точки, принадлежащие шару, но не принадлежащие гиперболоиду. В случае поверхности, верхняя часть сферы оказывается отброшена и более не рассматривается.

Короче, просто представьте себе эту фигуру, может, в каком-то мат.пакете постройте, помня, что внутренность её нас вообще на интересует, только граница.

-- 10.06.2018, 19:15 --

Ещё, насчет того, как Вы расставили знаки в интегралах. Для рассматриваемой поверхности внешняя нормаль к гиперболоиду получается направлена внутрь гиперболоида, т.е. угол будет острый.

Кстати, тут подумалось, а что если Ваша поверхность -- наоборот ограничена сверху сферической шапочкой, сбоку гиперболоидом и снизу -- плоскостью $z=0$?

[Men007]

thething
И что-то я запутался: полученный поток я рассчитал для сегмента шара или для части сферы вырезанной гиперболоидом, находящейся внутри него?

-- 11.06.2018, 00:35 --

thething в сообщении #1318729 писал(а):

Кстати, тут подумалось, а что если Ваша поверхность -- наоборот ограничена сверху сферической шапочкой, сбоку гиперболоидом и снизу -- плоскостью $z=0$?

Об этом я как раз и подумал, какой именно поток считать не понятно.

-- 11.06.2018, 00:52 --

thething
То есть для фигуры:

1) Представляющей собой шаровой сегмент с внутренним отверстием (сужающимся), имеем поток равный:
$\frac{\pi R^{4}}{2}+\frac{\pi R^{4}}{2}=\pi R^{4}$

2) Представляющей собой однополостной гиперболоид снизу ограниченный плоскостью $Oxy$, а сверху - сферической шапочкой, имеем поток равный:

Men007 в сообщении #1318696 писал(а):

То получаем:
$\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}R}r(3R^{2}-r^{2})dr-\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{2}R}r(r^{2}-R^{2})dr=4 \pi R^{2}$

[thething]

Men007 в сообщении #1318842 писал(а):

2) Представляющей собой однополостной гиперболоид снизу ограниченный плоскостью $Oxy$, а сверху - сферической шапочкой, имеем поток равный:

А какой у сферической шапочки будет максимальный радиус в этом случае?

Men007 в сообщении #1318842 писал(а):

полученный поток я рассчитал для сегмента шара или для части сферы вырезанной гиперболоидом, находящейся внутри него?

Поток бывает через поверхность, поэтому, говоря про поток, ранее я всюду имел ввиду поток через сферический слой, переходящий в гиперболоид (это тоже поверхность, а не тело) и замкнутый снизу плоскостью.

Men007 в сообщении #1318842 писал(а):

какой именно поток считать не понятно.

Это говорит о плохой постановке задачи, у которой нет однозначности. Т.е. либо решать все варианты, либо догадываться телепатичеки, что имел ввиду автор.

[Men007]

thething

thething в сообщении #1318854 писал(а):

А какой у сферической шапочки будет максимальный радиус в этом случае?

Понял:

$$\int\limits_{0}^{2\pi}в\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}R} r(3R^{2}-r^{2})dr - \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{2}R} r(r^{2}-R^{2}) dr=4 \pi R^{4}-\frac{\pi R^{4}}{2}=\frac{7 \pi R^{4}}{2}$$

thething в сообщении #1318854 писал(а):

Т.е. либо решать все варианты

Самое интересное в том, что ответ есть, точнее их два, и они записаны ручкой. Однако в правильности их сомневался, поскольку:

1) один ответ $\frac{7 \pi R^{4}}{2}$ - вроде бы все сходится. Этот ответ дан для фигуры

Men007 в сообщении #1318842 писал(а):

Представляющей собой однополостной гиперболоид снизу ограниченный плоскостью $Oxy$, а сверху - сферической шапочкой,

2) А второй ответ записан просто: $4R^{4}$. Возможно при переписывании ответа была допущена ошибка и имелось ввиду $\pi R^{4}$. Тогда все сходится и этот ответ дан для сегмента сферы.
То есть нужно было решать оба возможных варианта.


Теперь, я думаю, стало понятно, почему я все время старался подогнать к ответу $4 \pi R^{4}$.

[thething]

Да тут сама постановка хромает на все четыре ноги. При постановке не указано, рассматривать ли верхнюю полуплоскость или нижнюю, не указано, поток считать через внешнюю сторону поверхности или через внутреннюю. Решать Все варианты задачи -- это тоже издевательство (по крайней мере, надо было указать, что возможно два случая, надо решать оба, чтобы студенты голову не ломали).

Кстати, в случае гиперболоида с шапочкой Вы не забыли, что изначально была еще пара интегралов? Судя по ответу, правда, они должны дать ноль хотя бы в сумме, но всё-таки неплохо было бы их пересчитать.

[Men007]

thething

thething в сообщении #1318950 писал(а):

Кстати, в случае гиперболоида с шапочкой Вы не забыли, что изначально была еще пара интегралов?

Забыл. А точнее не совсем понимаю о каких интеграла идет речь.
Там разве не два потока создается - один от сферической шапочки, другой от части гиперболоида?

[thething]

Men007 в сообщении #1318954 писал(а):

не совсем понимаю о каких интеграла идет речь

Изначально у Вас три интеграла было, по определению потока вектора. Вы подробно посчитали только один по $dxdy$. Про другие два тоже сказать надо. По крайней мере, раз уж задачу надо решать в обоих случаях, то и рассматривать в каждом случае надо всё от начала и до конца. Хоть это и тупая работа.

[Men007]

thething

Men007 в сообщении #1318529 писал(а):

На плоскости $Oyz$ и $Oxy$ полученная поверхность проектируется дважды, с обеих сторон, к тому же эта поверхность симметрична относительно этих плоскостей. Поэтому соответствующие интегралы получаются нулевыми:
1) $\int\limits_{S}\int\limits x^{2}dydz=0$
2) $\int\limits_{S}\int\limits y^{2}dxdz=0$

А данное объяснение разве не подойдет для обеих фигур?

[thething]

Подойдёт, просто при оформлении решения надо про это не забыть, а то придраться можно, что задача решена не до конца

-- 11.06.2018, 17:13 --

Ну и, наверное, тут лучше говорить про то, что нормали у каждой половинки направлены в разные стороны, а сами половинки проектируются в одну и ту же область, вот интегралы и сокращаются

[Men007]

thething
Большое спасибо.

На счет некорректности условия задачи спрошу у составителя учебника. Может внесет какие-нибудь уточнения. Насколько мне известно, он будет переиздавать учебник, потому что в нем очень много опечаток (и неточностей).

[thething]

Ещё уточните у него, как быть с этим интегралом. Правда, очень интересно.