Поток векторного поля через поверхностный интеграл

[Men007]

Найти поток векторного поля $\vec{F}(x,y,z)=x^{2}\vec{i}-y^{2}\vec{j}+z^{2}\vec{k}$ через поверхность тела, ограниченного сферой $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3R^{2}$, плоскостью $Oxy$ и однополосным гиперболоидом $x^{2}+y^{2}-z^{2}=R^{2}$.

Решение:
Согласно физическому смыслу поверхностного интеграла, имеем:
$\int\limits_{S}\int\limits (\vec{F}\cdot \vec{n_{0}})dS=\int\limits_{S}\int\limits(F_{x}\cos\alpha + F_{y} \cos\beta +F_{z} \cos\gamma)dS=$
$=\int\limits_{S}\int\limits F_{x}dydz+F_{y}dxdz+F_{z}dxdy=\int\limits_{S}\int\limits x^{2}dydz-y^{2}dxdz+z^{2}dxdy$ - поток векторного поля $\vec{F}(x,y,z)$.

Тогда:
На плоскости $Oyz$ и $Oxy$ полученная поверхность проектируется дважды, с обеих сторон, к тому же эта поверхность симметрична относительно этих плоскостей. Поэтому соответствующие интегралы получаются нулевыми:
1) $\int\limits_{S}\int\limits x^{2}dydz=0$
2) $\int\limits_{S}\int\limits y^{2}dxdz=0$

Теперь вычислим интеграл:
$\int\limits_{S}\int\limits (\vec{F}\cdot \vec{n_{0}})dS = \int\limits_{S}\int\limits z^{2}dxdy$
Из уравнения сферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3R^{2}$ выразим значение $z$:
$z=\sqrt{3R^{2}-x^{2}-y^{2}}$
Поскольку нормальные векторы полученной поверхности образуют с полуось $Oz^{+}$ острые углы, то переход от поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу осуществляется по формуле:

$$\int\limits_{S}\int\limits f(x,y,z) = +\int\limits_{D_{xy}}\int\limits f(x,y,z(x,y))dxdy$$

Следовательно, получим:
$\int\limits_{S}\int\limits (\vec{F}\cdot \vec{n_{0}})dS = \int\limits_{D_{xy}}\int\limits (3R^{2}-x^{2}-y^{2})dxdy$. (На это этапе я уже начинаю сомневаться в правильности своего решения. $z$ выражаю из уравнения сферы лишь потому, что полученная фигура своей внешней частью представляет сегмент сферы).

Полученная поверхность состоит из:
1) Сегмента сферы, проекция которого на ось $Oxy$ есть окружность $x^2+y^2=3R^{2}$, радиуса $\sqrt{3}R$. При этом сегмент сферы пересекается с гиперболоидом по линии $x^2+y^2=2R^{2}$, представляющей собой окружность радиуса $\sqrt{2}R$ (так как $z^{2}=3R^{2}-x^{2}-y^{2}$ и $z^{2}=x^2+y^2-R^2$, откуда $3R^{2}-x^{2}-y^{2}=x^{2}+y^{2}-R^{2}$, $x^{2}+y^{2}=2R^{2}$).
2) Сегмента гиперболоида. Он проецируется в кольцо, внутренний радиус которого $R$, а наружный $\sqrt{2}R$.

Следовательно, $D_{xy}$ - кольцо, внутренний радиус которого $R$, а наружный $\sqrt{3}R$. (Думаю, что это неверно, так как не учитывается зависимость $R$ от $z$).

Таким образом, перейдя к полярной системе координат, получим:
$0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi$
$R \leqslant r \leqslant \sqrt{3}R$
Якобиан перехода: $r$

$\int\limits_{S}\int\limits (\vec{F}\cdot \vec{n_{0}})dS =\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{3}R} r(3R^{2}-r^{2})dxdy=2 \pi R^{4}$.

Честно, понимаю, что написал неверно. Однако другого решения я придумать не могу.
Как правильно записать интеграл, с помощью которого можно найти поток данного поля через поверхность тела, ограниченного сферой $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3R^{2}$, плоскостью $Oxy$ и однополосным гиперболоидом $x^{2}+y^{2}-z^{2}=R^{2}$?

[Dan B-Yallay]

Men007 в сообщении #1318529 писал(а):

другого решения я придумать не могу.

Остроградским с Гауссом не пробовали?

[Men007]

Dan B-Yallay
Да, я пробовал решать по формуле Остроградского-Гаусса. Ответ получился: $\frac{\pi R^{4}}{2}$ (возможно и тут решил неверно).

Но мне нужно решить без использования формулы Остроградского-Гаусса, через физический смысл поверхностного интеграла второго рода.

[thething]

Вы сами пишете

Men007 в сообщении #1318529 писал(а):

Полученная поверхность состоит из:
1) Сегмента сферы, проекция которого на ось $Oxy$ есть окружность $x^2+y^2=3R^{2}$, радиуса $\sqrt{3}R$. При этом сегмент сферы пересекается с гиперболоидом по линии $x^2+y^2=2R^{2}$, представляющей собой окружность радиуса $\sqrt{2}R$ (так как $z^{2}=3R^{2}-x^{2}-y^{2}$ и $z^{2}=x^2+y^2-R^2$, откуда $3R^{2}-x^{2}-y^{2}=x^{2}+y^{2}-R^{2}$, $x^{2}+y^{2}=2R^{2}$).
2) Сегмента гиперболоида. Он проецируется в кольцо, внутренний радиус которого $R$, а наружный $\sqrt{2}R$.

Ещё добавить часть плоскости $z=0$. Значит и интеграл надо разбивать и считать по каждой части Вашей поверхности.

[Men007]

thething

thething в сообщении #1318577 писал(а):

Значит и интеграл надо разбивать и считать по каждой части Вашей поверхности.

Не совсем понимаю, какой интеграл должен получится, то есть как его разбить? Например, каким будет интеграл для сегмента сферы, и что в итоге со всеми интегралами делать - складывать или вычитать?

А что если посчитать поток для полусферы относительно полуоси $Oz^{+}$, а потом для однополосного гиперболоида (точнее для его части, расположенной над плоскостью $Oxy$). И из потока для полусферы вычесть поток для верхней части гиперболоида (вычитаем, так как для полусферы и верхней части гиперболоида вектора нормали направлены в противоположные стороны)?

[thething]

Если поверхность состоит из нескольких частей, то интеграл по этой поверхности получается как сумма интегралов по всем составляющим частям. Ставить ли перед каждым интегралом знак минус или нет, решается уже отдельно. Для части сферы в проекции получается одно кольцо, а для части гиперболоида -- другое.

[Men007]

thething

thething в сообщении #1318672 писал(а):

Для части сферы в проекции получается одно кольцо, а для части гиперболоида -- другое.

То есть сегмента сферы при проекции имеем одно кольцо, а части гиперболоида - другое кольцо, поэтому получим:
1) Для сегмента сферы интеграл:
$\int\limits_{D_{xy}}\int\limits z^{2}dxdy=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{3}R}r(3R^{2}-r^{2})dr$

2) Для части гиперболоида:
$\int\limits_{D_{xy}}\int\limits z^{2}dxdy=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{2}R}r(r^{2}-R^{2})dr$

3)

thething в сообщении #1318577 писал(а):

Ещё добавить часть плоскости $z=0$.

А что это значит?


И все таки можно ли так сделать?

Men007 в сообщении #1318667 писал(а):

А что если посчитать поток для полусферы относительно полуоси $Oz^{+}$, а потом для однополосного гиперболоида (точнее для его части, расположенной над плоскостью $Oxy$). И из потока для полусферы вычесть поток для верхней части гиперболоида (вычитаем, так как для полусферы и верхней части гиперболоида вектора нормали направлены в противоположные стороны)?

[thething]

Men007 в сообщении #1318680 писал(а):

То есть сегмента сферы при проекции имеем одно кольцо, а части гиперболоида - другое кольцо

Ну и смотрите внимательно на эти кольца. Где кончается одно -- начинается другое, а у Вас они как-то пересекаются.

Men007 в сообщении #1318680 писал(а):

А что это значит?

То, что Ваша поверхность состоит не только из сферы и гиперболоида, но ещё и из части плоскости. Пусть по ней и тривиально считать.

Men007 в сообщении #1318680 писал(а):

И все таки можно ли так сделать?

Я не знаю, что такое "поток относительно полуоси $Oz^{+}$". Я знаю только поток вектора через поверхность. Просто посчитайте интегралы с учётом направления внешних нормалей к каждой части поверхности.

[Men007]

thething
Я все равно никак не могу понять, как эти интегралы составляются.

1) Для сегмента сферы интеграл:
$\int\limits_{D_{xy}}\int\limits z^{2}dxdy=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{3}R}r(3R^{2}-r^{2})dr$

2) Для части гиперболоида:
$\int\limits_{D_{xy}}\int\limits z^{2}dxdy=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{2}R}r(r^{2}-R^{2})dr$

3) Для плоскости, как я понял будет круг:
$\int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}R} r^{3}dr$

Тогда получим поток:
$\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{3}R}r(3R^{2}-r^{2})dr-\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{2}R}r(r^{2}-R^{2})dr+\int\limits_{0}^{2\pi} d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}R} r^{3}dr=6\pi R^{4}$

А если вот так решать:

Men007 в сообщении #1318667 писал(а):

А что если посчитать поток для полусферы относительно полуоси $Oz^{+}$, а потом для однополосного гиперболоида (точнее для его части, расположенной над плоскостью $Oxy$). И из потока для полусферы вычесть поток для верхней части гиперболоида (вычитаем, так как для полусферы и верхней части гиперболоида вектора нормали направлены в противоположные стороны)?

То получаем:
$\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}R}r(3R^{2}-r^{2})dr-\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{2}R}r(r^{2}-R^{2})dr=4 \pi R^{2}$

Второй способ решения больше похож на правду, потому что я не понимаю, как составлять интегралы для каждой части поверхности.

[thething]

Men007 в сообщении #1318696 писал(а):

Я все равно никак не могу понять, как эти интегралы составляются

Пусть $S=S_1\cup S_2\cup S_3$, тогда $\int\limits_{S}^{}f(x,y,z)dxdy=\int\limits_{S_1}^{}f(x,y,z)dxdy+\int\limits_{S_2}^{}f(x,y,z)dxdy+\int\limits_{S_3}^{}f(x,y,z)dxdy$. В каждый из интегралов подставляется своё выражение для $z=z(x,y)$ (особо обратите внимание на случай $z=0$), и каждый из интегралов будет сводиться к двойному интегралу по соответствующей проекции.

У Вас гиперболоид расположен внутри сферы, следовательно, для части гиперболоида кольцом будет $R<r<R\sqrt{2}$, а для части сферы -- $R\sqrt{2}<r<R\sqrt{3}$.

Знаки перед каждым интегралом расставляются уже в момент перехода к двойному интегралу, смотря на то, какой угол (острый или тупой) с осью $Oz$ образует внешняя нормаль к соответствующей части поверхности.

[Men007]

thething
Хорошо, спасибо.
Вроде бы для сегмента сферы и для части гиперболоида разобрался:
1) Для сегмента сферы интеграл:
$\int\limits_{D_{xy}}\int\limits z^{2}dxdy=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{\sqrt{2}R}^{\sqrt{3}R}r(3R^{2}-r^{2})dr$
2) Для части гиперболоида:
$\int\limits_{D_{xy}}\int\limits z^{2}dxdy=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{2}R}r(r^{2}-R^{2})dr$
При вычислении потока первый интеграл берется с положительным знаком, так как векторы нормали сегмента сферы направлены под острым углом к оси $Oz$, а второй интеграл берется с отрицательным знаком, так как векторы нормали части гиперболоида направлены под тупым углом к оси $Oz$.

Что же качается $z=0$, то тут, как я понял при проекции получается круг $x^{2}+y^{2}=3R^{2}$:

$$\int\limits_{0}^{2 \pi} d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{3}R} r^{3}dr$$

Но тут возникают два вопроса:
1. Верно ли я составил подынтегральное выражение при переходе от поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу, а далее к повторному?
2. С каким знаком брать данный интеграл, поскольку векторы нормали плоскости $z=0$ направленны параллельно оси $Oz$?

[thething]

Что касается части плоскости $z=0$, то в тот интеграл и надо подставить $z=0$. Ну а нормаль, раз она внешняя, то направлена в сторону, противоположную направлению оси $z$, так что о знаке интеграла догадайтесь сами.. Хотя, тут этот знак вообще ни к чему.

[Men007]

thething
Понял, спасибо.
В итоге получим, что поток равен нулю:
$\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{\sqrt{2}R}^{\sqrt{3}R}r(3R^{2}-r^{2})dr - \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{2}R}r(r^{2}-R^{2})dr-\int\limits_{D_{xy}}\int\limits 0 dxdy=$

$=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{\sqrt{2}R}^{\sqrt{3}R} r(3R^{2}-r^{2})dr - \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{R}^{\sqrt{2}R} r(r^{2}-R^{2})dr=$

$=2\pi (\frac{9 R^{4}}{2}-\frac{9 R^{4}}{4}-3R^{4}+R^{4})-2\pi (R^{4}-R^{4}-\frac{R^{4}}{4}+\frac{R^{4}}{2})=\frac{\pi R^{4}}{2}-\frac{\pi R^{4}}{2}=0$

Хотя не уверен, что поток равен нулю (но считал верно).

-- 10.06.2018, 17:01 --

А почему пределы интегрирования у сегмента сферы изменяются не от $0$ до $\sqrt{3}R^{4}$, а от $\sqrt{2}R^{4}$ до $\sqrt{3}R^{4}$ ?

[thething]

Men007 в сообщении #1318716 писал(а):

А почему пределы интегрирования у сегмента сферы изменяются не от $0$ до $\sqrt{3}R^{4}$, а от $\sqrt{2}R^{4}$ до $\sqrt{3}R^{4}$ ?

Ваша область -- это полушар, с которого срезана "шапочка" (начинающаяся с того момента, как гиперболоид пересёк сферу), да еще в этом полушаре проделана сквозная дыра, сужающаяся книзу. Посмотрите на эту фигуру сверху вниз, и увидите, где начинается и заканчивается гиперболоид, начинается и заканчивается сферическая часть.

[Men007]

thething
С гиперболоидом все понятно: сверху на пересечении сферы и гиперболоида радиус $\sqrt{2}R$, а на пересечении гиперболоида и плоскости $Oxy$ радиус $R$.

А вот с сегментом сферы не совсем понятно: сверху на пересечении сегмента сферы и гиперболоида радиус $\sqrt{2}R$, а на пересечении сегмента сферы и плоскости $Oxy$ образуется кольцо, внутренний радиус которого $R$, а внешний $\sqrt{3}R$. Но при расчетах интеграла для потока через сегмент сферы мы рассматриваем именно от $\sqrt{2}R$ до $\sqrt{3}R$. Не совсем понятно почему именно так. Если бы вместо гиперболоида был цилиндр, который на пересечении со сферой давал бы окружность, а потом на пересечении с плоскостью $Oxy$ давал бы такую же окружность, то все было бы понятно, а так у нас сверху окружность радиуса $\sqrt{2}R$, а снизу для гиперболоида (и по сути для внутреннего радиуса сегмента сферы) уже окружность радиуса $R$.