Демидович. Верхний и нижний пределы.

[Ivan_B]

136. Доказать, что если последовательность $x_n$ ($n=1, 2, \dots$) ограничена и $\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=0$, то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами: $l=\varliminf\limits_{n\to\infty}x_n$ и $L=\varlimsup\limits_{n\to\infty}x_n$, то есть любое число из отрезка $[l, L]$ является частичным пределом данной последовательности.

Пусть некоторая точка $l<a<L$ не является частичным пределом данной последовательности. Тогда существует $\varepsilon$ такое, что начиная с некоторого $N$ $|x_n-a|>\varepsilon$(иначе можно уменьшая $\varepsilon$ построить подпоследовательность, которая сходится к $a$). Откуда $x_n<a-\varepsilon$ или $x_n>a+\varepsilon$. Поэтому разность любых двух $x_n<a$ и $x_{n+1}>a$ $|x_n-x_{n+1}|>2\varepsilon$("перешагнуть" через $a$ последовательности придется т.к. для любых $n>N$ найдутся $x_n$, которые лежат сколь угодно близко к $l$ и к $L$), что противоречит $\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=0$
Будет ли засчитано такое решение на экзамене? Сомнение у меня вызывает "перешагивание". Возможно есть и другие проблемы. Подскажите, пожалуйста, как исправить мое решение.

[SomePupil]

Ivan_B в сообщении #1318896 писал(а):

Сомнение у меня вызывает "перешагивание".

Да, этот момент недостаточно обоснован.

Для удобства $x_n < a - \varepsilon$ назовем левыми, а $x_n > a + \varepsilon -$ правыми. Надо показать, что найдется бесконечно много пар соседних $x_n, x_{n+1},$ таких, что один из них левый, а другой $-$ правый. Потом уже сработают перешагивания.

[ewert]

Ivan_B в сообщении #1318896 писал(а):

Поэтому разность любых двух $x_n<a$ и $x_{n+1}>a$ $|x_n-x_{n+1}|>2\varepsilon$("перешагнуть" через $a$ последовательности придется т.к. для любых $n>N$ найдутся $x_n$, которые лежат сколь угодно близко к $l$ и к $L$)

Тут действительно небрежность, за которую можно и посечь. Слишком невнятно сказано (хотя по существу, конечно, верно). Да и слова "разность любых двух" -- просто формально неверны; понятно, что сказано в запале, но всё же.

Лучше примерно так: если не найдутся, то либо все члены после $N$ окажутся левее $a$, либо все правее -- и ни то, ни другое не есть хорошо.

[Ivan_B]

Спасибо всем за Ваши ответы.
Отдельное спасибо ewert за подсказку, которой, как мне кажется, мне удалось воспользоваться:

ewert в сообщении #1318918 писал(а):

Лучше примерно так: если не найдутся, то либо все члены после $N$ окажутся левее $a$, либо все правее -- и ни то, ни другое не есть хорошо.

Пусть некоторая точка $l<a<L$ не является частичным пределом данной последовательности. Тогда существует $\varepsilon$ такое, что начиная с некоторого $N$ $|x_n-a|>\varepsilon$(иначе можно уменьшая $\varepsilon$ построить подпоследовательность, которая сходится к $a$). Поэтому найдется $n>N$, такое что $|x_{n+1}-x_n|>2\varepsilon$(что противоречит $\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=0$ и доказывает требуемое). В противном случае, если некоторый $x_n<a-\varepsilon$ то и $x_{n+1}<a-\varepsilon$. Точно также если некоторый $x_n>a+\varepsilon$ то и $x_{n+1}>a+\varepsilon$. Тогда, в зависимости от того $x_{N}<a-\varepsilon$ или $x_{N}>a+\varepsilon$, по индукции все $x_n<a-\varepsilon$ или $x_n>a+\varepsilon$, тогда для всех $n$ начиная с $N$ $|x_n-L|>L-a$ или $|x_n-l|>a-l$, что противоречит тому, что $l$ и $L$ частичные пределы последовательности $x_n$.