Как выразить нормальную производную электрического поля

[volchenok]

Здравствуйте, уважаемые участники форума. У меня есть следующие две задачи. Одну из них я решил, а со второй возникла непреодолимая для меня трудность.
1) Задан резонатор в виде бесконечно длинного неоднородного по длине цилиндра, с условиями излучения (Зоммерфельда) на концах и затуханием в стенках(конечная проводимость). Требуется найти собственные частоты и собственные поля данного резонатора. Я решил данную задачу традиционным путем - решением телеграфных уравнений, это когда поля внутри резонатора раскладываются в ряды по полям идеального цилиндра, а затуханием моделируется эффективным импедансом (граничное условие Щукина-Леонтовича). При этом не все компоненты электромагнитного поля можно представлять в виде ряда на границе, так как там будут нарушаться условия сходимости для них. Такими компонентам являются $H_{r}|_{r=R(z)}$, $H_{z}|_{r=R(z)}$, $E_{\phi}|_{r=R(z)}$, $E_{z}|_{r=R(z)}$. Их мы находим из граничных условий Щукина-Леонтовича ($E_{\phi}$, $E_{z}$)и из уравнений Максвелла ($H_{r}|_{r=R(z)}$, $H_{z}|_{r=R(z)}$), взятых на боковой стенке. Однако есть одна величина, которая должна вычисляться особым образом, она присутствует в граничных условиях Щукина-Леонтовича - это $\frac{\partial E_{\phi}}{\partial r}|_{r=R(z)}$. Ее мне удалось выразить через ряды, используя уравнение Гельмгольца для $E_{\phi}$, а именно

$$\frac{\partial E_{\phi}}{\partial r}|_{r=R(z)}=\frac{1}{R}\int\limits_{0}^{R}\frac{\partial }{\partial r}\left ( r\frac{\partial E_{\phi}}{\partial r}\right )dr= (m^2+1)\frac{1}{R}\int\limits_{0}^{R}\frac{E_{\phi} }{r}dr-k^2\frac{1}{R}\int\limits_{0}^{R}rE_{\phi}dr-2im\frac{1}{R}\int\limits_{0}^{R}\frac{E_{r} }{r}dr-\frac{1}{R}\int\limits_{0}^{R}r\frac{\partial^2 E_{\phi} }{\partial z^2}dr$$

Здесь уже в правой части все величины беруться во внутренней области и их можно представлять разложениями в ряды. Дальше я для коэффициетов разложений формирую систему обыкновенных дифференциальных уравнений и решаю методом конечных разностей. То есть задача решена.
2) Во второй задаче все практически тоже самое, за исключением геометрии. Она тут коаксиальных цилиндр. То есть тот же цилиндр, но с цилиндром внутри, который тоже имеет конечную проводимость. И тут возникает сложность, так как если напрямую применять мой способ выражения нормальной производной ($\frac{\partial E_{\phi}}{\partial r}|_{r=R(z)}$), то возникает связь между этой производной на внутреннем цилиндре и внешнем цилиндре (нижний предел у интеграла тут не 0, а равен радиусу внутреннего цилиндра). Таким образом образовалась новая неизвестная, а уравнений осталось прежнее количество. Я не знаю как решить эту трудность. Буду очень благодарен, если кто-то поможет решить данный вопрос. Заранее спасибо.

[volchenok]

Буду рад хотя бы каким-либо советам, наводящим вопросам или ссылкам.

[Eule_A]

volchenok
Не нужно поднимать тему таким способом. Замечание.

Правила, раздел I, п. 1 писал(а):

ж) Оффтопик, флуд, троллинг, размещение заведомо бессодержательных сообщений и тем, увод дискуссии в сторону от основного обсуждения, размещение большого числа сообщений в пределах одной темы подряд. Создание тем в стиле личного блога, не предполагающих обсуждения какого-либо вопроса. Искусственное поднятие темы бессодержательными сообщениями.