Задача о столкновении шайбы и клина

[pavelp84]

Мне кажется, что решение любезно предоставленное Антипкой ничем не отличается от моего, только немного в др. форме - и соответственно ответ тоже скорее всего не верный будет. Посчитаю конечно сейчас ради проверки.
------------------------------------------------------------------------------------------
Добавлено спустя 17 минут 19 секунд:

А и правда решение Антипки дает верный результат.

Я вот только так и не понял чем оно отличается от моего и почему дает верный ответ... Но обязательно попробую понять))

В общем спасибо вам большое товарищи. Огромный вам респект!


Добавлено спустя 5 минут 7 секунд:

З.Ы. Кажется я понял))

[Munin]

Cervix писал(а):

Munin писал(а):

И какой из двух корней выбирать? :-)

Вообще говоря положительный,

Почему? Ткнуть пальцем и я могу.

Cervix писал(а):

но я так делать не предлагал. По мой схеме вы бы на первом шаге получили $\dot x=v-v/4$

И в чём смысл этого символа?

Добавлено спустя 3 минуты 2 секунды:

Cervix писал(а):

pavelp84 писал(а):

А собственно почему не замкнутая? Ведь никакого обмена энергией с внешней средой нет - т.к. трения нет. По идее вся энергия должна распределяться между объектами...

Чтобы набрать вертикальную компоненту скорости по сути надо отталкиваться от земли.

Шайба отталкивается от клина, а клин относительно земли движется только горизонтально, и никакой работы над ней не совершает (как и она над ним).

Добавлено спустя 32 минуты 24 секунды:

pavelp84 писал(а):

Munin писал(а):

Cervix
У меня для скорости после подъёма по выкату, но внизу клина ($y\approx 0$) получается такое выражение:

$$\dot{x}_0=\frac{v}{2}\biggl(1\pm\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1+\sin^2\alpha}}\biggr).$$

И какой из двух корней выбирать? :-)

Вообще явно видно что оба корня явно пложительны.

Ага. Но всё равно физически неравнозначны. Поскольку Cervix не стал комментировать, подскажу:
1. Корни переходят друг в друга при смене знака косинуса, то есть при $\alpha\to\frac{\pi}{2}-\alpha$. Как физически выглядит подобное изменение условий?
2. К чему должен стремится правильный ответ (то есть правильный выбор корня) при $\alpha\to 0$?

Вообще интересное упражнение - искать физический смысл "лишнего" математического ответа.

pavelp84 писал(а):

А двух вариантов в этой задаче быть не может. Гдето видимо ошибка. А собственно как вы пришли к такому?

Пришёл очень просто, рассматривая сохранение энергии и горизонтальной проекции импульса до и после выката ($x_0$, $y_0$ - скорости шайбы после выката, $X_0$ - скорость клина тогда же):
$m\dot{x}_0+m\dot{X}_0=mv,$
$m\dot{x}_0^2+m\dot{y}_0^2+m\dot{X}_0^2=mv^2,$
$(\dot{x}_0-\dot{X}_0)\sin\alpha=\dot{y}_0\cos\alpha$ (условие связи).
Подставляя $\dot{y}_0$ и v из первого и третьего во второе, получаю:

$$\dot{x}_0^2+\dot{X}_0^2+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}(\dot{x}_0^2+\dot{X}_0^2-2\dot{x}_0\dot{X}_0)=(\dot{x}_0^2+\dot{X}_0^2+2\dot{x}_0\dot{X}_0)$$

$$\dot{x}_0^2+\dot{X}_0^2=2\dot{x}_0\dot{X}_0\frac{1}{\sin^2\alpha}.$$

Посокращав лишнее, возвращаюсь от $\dot{X}_0$ к v:

$$v^2=2\dot{x}_0\dot{X}_0\left(\frac{1}{\sin^2\alpha}+1\right)=2\dot{x}_0(v-\dot{x}_0)\left(\frac{1}{\sin^2\alpha}+1\right),$$

и окончательно квадратное уравнение:

$$\dot{x}_0^2-v\dot{x}_0+\frac{v^2\sin^2\alpha}{2(1+\sin^2\alpha)}=0.$$

Осталось только упростить корень из дискриминанта:

$$\sqrt{v^2-2\frac{v^2\sin^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}}=v\sqrt{\frac{1-\sin^2\alpha}{1+\sin^2\alpha}}=v\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1+\sin^2\alpha}}.$$

Ничё, что я так подробно? Зато если у меня ошибка, сразу покажете.

[pavelp84]

Ну собственно идея решения у вас полностью совпадает с идеей Антипки. Только условие связи задано более явным образом, что в принципе более корректно и наглядно.

А вот откуда вы квадратное уравнение взяли и всякие дескриминанты я не понимаю. Все намного проще. Решаем обычное линейное уравнение относительно квадрата тангенса или синуса. И корни в итоге совпадают - двух разных корней там точно нет. Нам нужен угол. Скорости все извены. Зачем вы ищите скорость шайбы в нижней точке если она сразу же находится из закона сохранения импулься, который вы написали в самом начале?

[Munin]

pavelp84 писал(а):

А вот откуда вы квадратное уравнение взяли и всякие дескриминанты я не понимаю.

Ну уравнение на энергию-то квадратное, от этого никуда не деться.

pavelp84 писал(а):

Зачем вы ищите скорость шайбы в нижней точке если она сразу же находится из закона сохранения импулься, который вы написали в самом начале?

Так заезжая вверх по клину, шайба же тормозит...

[Антипка]

Munin,
побочный корень вы получили, когда возвели третье уравнение в квадрат (ну выразили y' из него и возвели в квадрат). Соответственно, одно из двух ваших решений правильное, а второе - нет. Если вы заметите, "обмен" скоростями клина и шайбы сохраняет истинность первых двух ваших уравнений, а в третьем надо поменять знак. Но если третье уравнение возведено в квадрат, то "обмененные" скорости будут удовлетворять и ему. Таким образом, очевидно, что два решения, которые вы получите из вашего квадратного уравнения - это скорости (горизонтальные составляющие) шайбы и клина. Но из третьего уравнения следует, что гор. сост. скорости шайбы больше скорости клина, таким образом, "нужный" корень - со знаком плюс перед корнем из дискриминанта.

[Cervix]

Munin писал(а):

Почему? Ткнуть пальцем и я могу.

Как я уже сказал, я не предлагал вам получать подобное уравнение. Потому предлагаю вам самостоятельно определиться с физ. смыслом этих корней. А мой "тычок пальцем" обоснован моей же схемой решения этой задачи и, соответственно, полученным ответом.

Munin писал(а):

Cervix писал(а):

но я так делать не предлагал. По мой схеме вы бы на первом шаге получили $\dot x=v-v/4$

И в чём смысл этого символа?

Какого из? Здесь написан закон сохранения импульса (с уже сокращенными массами). v - символ из условия задачи. $\dot x$ - горизонтальная скорость шайбы (символ взят из вашего же сообщения)

Munin писал(а):

Cervix писал(а):

pavelp84 писал(а):

А собственно почему не замкнутая? Ведь никакого обмена энергией с внешней средой нет - т.к. трения нет. По идее вся энергия должна распределяться между объектами...

Чтобы набрать вертикальную компоненту скорости по сути надо отталкиваться от земли.

Шайба отталкивается от клина, а клин относительно земли движется только горизонтально, и никакой работы над ней не совершает (как и она над ним).

Да вы правы, это мое утверждение указывает на незамкнутость системы. А вот то место, где не выполняется закон сохранения энергии вы не процитировали

Munin писал(а):

Ага. Но всё равно физически неравнозначны. Поскольку Cervix не стал комментировать, подскажу:

Как я уже сказал - вы выдумали какое-то свое решение - сами за него и отдувайтесь. Почему я должен был его комментировать?
Короче, я не знаю, зачем вы так усердно искали, к чему бы придраться, но вам это не особо удалось.
Думаю, эту задачу можно считать решенной, т.ч. продолжать эту дискуссию бессмысленно.

[Архипов]

Для наглядности посчитаем в числах. Оба тела массой по 1 кг. Начальная скорость шайбы 12 м/с. Когда скорость клина достигнет 3 м/с, горизонтальная скорость шайбы упадет до 9 м/с.
От начальной энергии 72 Дж отнимем энергию клина 4,5 Дж и энергию от гориз. скорости шайбы 41 Дж. Останется энергия от вертикальной скорости шайбы 26,5 Дж, что соответствует верт. скорости 7,28 м/с Тангенс между вектором верт. скор 7,28 и относительной гор. скор 6 м/с равен 7,28/6=1,21. Совпадает с ответом.

(потенциальная энергия будет около 18 Дж, но по условию задачи мы ее не учитываем, хотя она значительна).
Как мы ее получили? При скорости шайбы и клина 6м/с шайба поднялась бы на высоту 3,6 м, а при скорости клина 3м/с -приблизительно в 2 раза меньше.

[Cervix]

Архипов писал(а):

Как мы ее получили? При скорости шайбы и клина 6м/с шайба поднялась бы на высоту 3,6 м, а при скорости клина 3м/с -приблизительно в 2 раза меньше.

И все же, как вы ее получили, не задавшись размерами клина? (по условию/по решению пот. энергия не учитывается только во время подъема по клину)

[Munin]

Антипка
Всё верно. Второй корень отвечает другому углу, $\alpha'=\frac{\pi}{2}-\alpha$, то есть выкату, поворачивающему скорость на тупой угол :-)

Cervix писал(а):

Как я уже сказал, я не предлагал вам получать подобное уравнение.

Ну, рецепт-то ваш: http://dxdy.ru/post131597.html#131597

Cervix писал(а):

Какого из? Здесь написан закон сохранения импульса (с уже сокращенными массами). v - символ из условия задачи. $\dot x$ - горизонтальная скорость шайбы (символ взят из вашего же сообщения)

Ну да, только не сказано, для каких моментов времени написан закон сохранения импульса. И у меня не было символа $\dot{x}$, у меня был символ $\dot{x}_0$, с оговорённым смыслом (а ваш - с неоговорённым).

Cervix писал(а):

Да вы правы, это мое утверждение указывает на незамкнутость системы. А вот то место, где не выполняется закон сохранения энергии вы не процитировали

Вы про прыжки шайбы после отрыва от клина? Они происходят уже после того, как заканчивается задача. Самая последняя упомянутая в задаче величина относится к моменту отрыва шайбы от края клина, и до этого момента я ие могу разглядеть ни одного фактора несохранения энергии.

[Архипов]

Cervix писал(а):

И все же, как вы ее получили, не задавшись размерами клина? (по условию/по решению пот. энергия не учитывается только во время подъема по клину)

Из соображений симметрии. Коль задача про клин, то подразумевается накопление потенциальной энергии в форме энергии тяготения (наче бвли бы указаны упругие свойства шайбы или клина). Ответ к задаче - наклон около 50 градусов. Получается, что шайба даже не поднималась по клину, так как горизонтальная составляющая 3/4 от начальной легко может быть получена поворотом вектора начальной скорости на угол около 40 градусов. Если приложить рисунок к задаче, то придется рисовать не клин, а лыжу, по которой скользит шайба и спрыгивает с загнутого конца лыжи. Массы шайбы и лыжи одинаковы.