2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача о столкновении шайбы и клина
Сообщение07.07.2008, 23:17 


07/07/08
8
Шайба движется по горизонтальной поверхности со скоростью $V$. Затем налетает на клин с углом $\alpha$, скользит по нему и слетает с него. Клин приобретает скорость $V/4$. Клин и шайба имеют равные массы $M$. При этом в основании клин имеет плавный выкат. Трение на всех поверхностях отсутствует. Потенциальной энергией шайбы можно пренебречь. Необходимо определить угол клина.

правильный ответ - $\arccos { \sqrt {\frac 2 5} } $
--------------------------------------------------
Соответственно из закона сохранения энергии легко находится скорость шайбы после вылета. Что дальше делать не понятно. Закон сохранения импульса в общем виде применять здесь нельзя. Пытался баловаться с силой реакции опоры при скольжении - ничего особо не вышло.

Подскажите пожалуйста. Очень надо решить. Заранее благодарю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.07.2008, 23:35 
Аватара пользователя


21/06/08
67
pavelp84 писал(а):
Шайба движется по горизонтальной поверхности со скоростью V. Затем налетает на клин с углом A, скользит по нему и слетает снего. Клин прибретает скорость v/4. При этом в основании клин имеет плавный выкат. Трение на всех поверхностях отсутствует. Потенциальной энергией шайбы можно пренебречь. Необходимо определить угол клина.

--------------------------------------------------

Соответственно из закона сохранения энергии легко находится скорость шайбы после вылета. Что дальше делать не понятно. Закон сохранения импулься в общем виде применять здесь нельзя. Пытался баловаться с силой реакции опоры при скольжении - ничего особо не вышло.

Продемонстрируйте, как это легко находится скорость шайбы после вылета. А по существу - у вас очень неточное условие:
1) как связаны скорости v и V.
2) вероятно, в исходной задаче заданы какие-нибудь массы.
и т.д. и т.п.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.07.2008, 23:44 


07/07/08
8
Cervix писал(а):
Продемонстрируйте, как это легко находится скорость шайбы после вылета. А по существу - у вас очень неточное условие:
1) как связаны скорости v и V.
2) вероятно, в исходной задаче заданы какие-нибудь массы.
и т.д. и т.п.


Извиняюсь конечно. Мозг совсем вскипел - вот и забыл про массы. Они одинаковые у шайбы и клина. $v$ и $V$ - одна и та же скорость шайбы до столкновения. Скорость Клина в итоге в 4 меньше начальной скорости шайбы. Все остальные условия в точности как в источнике. Скорость шайбы после вылета находится из закона сохр энергии:

$\frac {mv^2} 2 = \frac{mu^2} 2 + \frac{m(v/4)^2} 2$

m сокращается - получаем скорость шайбы после вылета - $u = \frac {v \sqrt{15}} 4$

Что дальше - не знаю. Банальное применение закона сохр импульса для горизонтальных проекций дает неверный ответ. Что в принципе и понятно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 00:01 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12051
 !  photon:
pavelp84, используйте тег math для записи формул

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 00:03 
Аватара пользователя


21/06/08
67
pavelp84 писал(а):
Скорость шайбы после вылета находится из закона сохр энергии:

(m*v^2)/2 = (m*u^2)/2 + (m*(v/4)^2)/2

m сокращается - получаем скорость шайбы после вылета - u = (v*15^(-2)/)4

Что дальше - не знаю. Банальное применение закона сохр импульса для горизонтальных проекций дает неверный ответ. Что в принципе и понятно.

Система-то не замкнутая, ЗСЭ в такой форме ошибочен.
Схема решения:
1) из ЗСИ в проекции на горизональную ось находите скорость шайбы после столкновения.
2) из ЗСЭ находите вертикальную проекцию скорости шайбы после столкновения.
3) требуете, чтобы в системе отсчета клина шайба двигалась вдоль клина.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 00:23 


07/07/08
8
photon писал(а):
...


Извиняюсь. Я новичек здесь. Вроде все исправил.

Добавлено спустя 1 минуту 54 секунды:

Cervix писал(а):
Система-то не замкнутая, ЗСЭ в такой форме ошибочен.
Схема решения:
1) из ЗСИ в проекции на горизональную ось находите скорость шайбы после столкновения.
2) из ЗСЭ находите вертикальную проекцию скорости шайбы после столкновения.
3) требуете, чтобы в системе отсчета клина шайба двигалась вдоль клина.


Спасибо. Ход ваших мыслей примерно понял. Хотя пока и не до конца. Завтра попробую так.
Огромное спасибо за отклик.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 05:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Cervix
У меня для скорости после подъёма по выкату, но внизу клина ($y\approx 0$) получается такое выражение:
$$\dot{x}_0=\frac{v}{2}\biggl(1\pm\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1+\sin^2\alpha}}\biggr).$$

И какой из двух корней выбирать? :-)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 08:30 


01/12/05
196
Москва
Cervix
Все проще. В качестве неизвестной скорости лучше сразу выбрать скорость шайбы относительно клина в момент слёта с него ($v'$). Пусть скорость клина после взаимодействия с шайбой равна $u'$ (по условию $u'=v/4$), а массы шайбы и клина - соответственно $m$ и $M$. Тогда законы сохранения импульса и энергии можно записать следующим образом:
\[mv = m(v'\cos \alpha +u') + Mu'\]
\[
\frac{m}
{2}v^2  = \frac{m}
{2}((v'\cos \alpha  + u')^2  + (v'\sin \alpha )^2 ) + \frac{M}
{2}u'^2 
\]
Из первого уравнения выражаем $v'$ (будет зависеть от угла клина \alpha) и подставляем во второе. Получим простое уравнение относительно косинуса либо тангенса угла \alpha - в зависимости от выбранного способа тождественных преобразований.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 08:53 
Аватара пользователя


21/06/08
67
Munin писал(а):
И какой из двух корней выбирать? :-)

Вообще говоря положительный, но я так делать не предлагал. По мой схеме вы бы на первом шаге получили $\dot x=v-v/4$
Антипка писал(а):
Cervix
Все проще. В качестве неизвестной скорости лучше сразу выбрать скорость шайбы относительно клина в момент слёта с него (v').

А в чем оно проще? Решение по сути то же самое. И ответ такой же, правда с "нужным" ответом не совпадает :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 10:50 


07/07/08
8
Cervix писал(а):
Система-то не замкнутая, ЗСЭ в такой форме ошибочен.


А собственно почему не замкнутая? Ведь никакого обмена энергией с внешней средой нет - т.к. трения нет. По идее вся энергия должна распределяться между объектами...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 11:13 
Аватара пользователя


21/06/08
67
pavelp84 писал(а):
А собственно почему не замкнутая? Ведь никакого обмена энергией с внешней средой нет - т.к. трения нет. По идее вся энергия должна распределяться между объектами...

Чтобы набрать вертикальную компоненту скорости по сути надо отталкиваться от земли. Так же надо как-то погасить эту вертикальную компоненту об землю после преодоления клина, в задаче об этом ничего не сказано, но надо полагать, что шайба не прыгает.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 11:25 


07/07/08
8
А вообще я не могу понять до конца 1 момент:

Силовое взаимодействие происходит только в момент движения по пологому выкату с неким радиусом закругления - или оно происходит во время скольжения по всей поверхности, а движением в области закругления вообще можно пренебречь. При этом на всем пути взаимодействия и шайба и клин дбудут двигаться с ускорением?

Из утверждения Cervix похоже следует 1 вариант.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 11:31 
Аватара пользователя


21/06/08
67
pavelp84 писал(а):
Потенциальной энергией шайбы можно пренебречь.

Это упрощение позволяет думать, что
pavelp84 писал(а):
Силовое взаимодействие происходит только в момент движения по пологому выкату с неким радиусом закругления

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 12:35 


07/07/08
8
Cervix писал(а):
Система-то не замкнутая, ЗСЭ в такой форме ошибочен.
Схема решения:
1) из ЗСИ в проекции на горизональную ось находите скорость шайбы после столкновения.
2) из ЗСЭ находите вертикальную проекцию скорости шайбы после столкновения.
3) требуете, чтобы в системе отсчета клина шайба двигалась вдоль клина.


А собственно в какой форме тогда закон сохранения не ошибочен? что вы подразумеваете под 2 пунктом? Если его применять в моей форме, но после расчета горизонтальной составляющей скорости шайбы после удара через ЗСИ согласно пункту 1 - то поучается такой же неверный ответ как и в моем случае - $ \arccos {\sqrt {\frac 3 5}} $ - только немного иным методом. А должно быть - $ \arccos {\sqrt {\frac 2 5}} $

Добавлено спустя 7 минут 22 секунды:

Munin писал(а):
Cervix
У меня для скорости после подъёма по выкату, но внизу клина ($y\approx 0$) получается такое выражение:
$$\dot{x}_0=\frac{v}{2}\biggl(1\pm\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1+\sin^2\alpha}}\biggr).$$

И какой из двух корней выбирать? :-)


Вообще явно видно что оба корня явно пложительны. А двух вариантов в этой задаче быть не может. Гдето видимо ошибка. А собственно как вы пришли к такому?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.07.2008, 12:35 
Аватара пользователя


21/06/08
67
pavelp84 писал(а):
А собственно в какой форме тогда закон сохранения не ошибочен?

Антипка уже написал вам почти все решение :roll:
Раньше вы предлагали другой ответ. Но там действительно получается $\arccos{\sqrt{2/5}}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group