Сложный интеграл на вычеты (ТФКП)

[happ]

Доброго времени суток!
Не могу справиться с одним из интегралов,который нужно вычислить с помощью вычетов :
$\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\ln^2(x)}{(x-1)^2}dx$

Подскажите, пожалуйста, идею решения

[Someone]

Идею? Выбрать подходящий контур и свести к нахождению вычетов.

А по правилам Вы должны изложить собственные попытки решения.

[happ]

Someone в сообщении #1318110 писал(а):

Идею? Выбрать подходящий контур и свести к нахождению вычетов.

А по правилам Вы должны изложить собственные попытки решения.

Я пытался свести к следующему:



2$\pi$$\cdot$i\cdot\sum\limits_{}^{}\operatorname{res}f = \int\limits_{0}^{\infty}\frac{(\ln(z) + i\pi)^2}{(z-1)^2} + \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\ln^2(z)}{(z-1)^2}

[thething]

Контур неудачный, т.к. на отрицательной полуоси после замены переменной знаменатель изменится. Возьмите контур с разрезом по действительной полуоси (докрутите свой контур, чтоб получились целые окружности). Ну и вместо квадрата логарифма в комплексном интеграле стОит попробовать взять третью степень.

-- 08.06.2018, 07:08 --

Хотя фигня какая-то получается. Что-то мне кажется, что сперва придётся посчитать интеграл с логарифмом $-x$ по лучу $(-\infty,0]$, используя контур с разрезом по отрицательной полуоси. А потом уже, используя Ваш контур, посчитать исходный интеграл.

[Someone]

И контур не тот, и подынтегральную функцию нужно брать другую. В учебнике должно быть написано.
И правила опять нарушаете. Контур-то можно на картинке отсканированной показать, а вот формулы надо по правилам писать.

[thething]

Рекомендую Сидоров, Федорюк, Шабунин: Лекции по теории функций комплексного переменного. Вычисление интегралов в моем издании начинается со страницы 228.

Ваш же интеграл придётся считать в два приёма (по крайней мере я не вижу способ проще): сперва $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\ln^2(x)}{(x+1)^2}dx$ по контуру типа "звезда смерти" (как это сделать -- см. предложенную книгу), затем Ваш непосредственный интеграл уже по Вашему контуру.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Оставьте в виде картинки только собственно контур, а формулы наберите в тексте (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[happ]

thething в сообщении #1318176 писал(а):

Рекомендую Сидоров, Федорюк, Шабунин: Лекции по теории функций комплексного переменного. Вычисление интегралов в моем издании начинается со страницы 228.

Ваш же интеграл придётся считать в два приёма (по крайней мере я не вижу способ проще): сперва $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\ln^2(x)}{(x+1)^2}dx$ по контуру типа "звезда смерти" (как это сделать -- см. предложенную книгу), затем Ваш непосредственный интеграл уже по Вашему контуру.

Подскажите,зачем сначала искать интеграл по "звезде смерти", а затем по моему контуру? В учебнике написана теория для подобных интегралов,но у меня не получается разобрать случай,когда логарифм во второй степени,а знаменатель - нечётный (если это важно).
Не могли бы Вы,пожалуйста, подробнее помочь с решением?

[thething]

Интеграл по Вашему контуру сводится к сумме интегралов $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\ln^2x}{(x-1)^2}dx+\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{(\ln x+\pi i)^2}{(x+1)^2}dx+...=0$, где за многоточием скрывается то, что устремляется к нулю.

Вот второй интеграл и надо посчитать отдельно. После раскрытия скобок в числителе он сводится к вычислению двух интегралов:

1. $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\ln^2(x)}{(x+1)^2}dx$ как раз по "звезде смерти" (при этом в комплексной плоскости надо взять $\ln^3z$). Замечу, что исходный интеграл таким способом не посчитать (можете попытаться, если интересно, поймёте -- почему).

2. Табличный интеграл

Там есть ещё и третий интеграл, но он исчезнет после приравнивания действительной и мнимой частей.