Здравствуйте!
Возник наивный дилетантский вопрос. Рассматривая выражение
, где
— мощность множества натуральных чисел, т.е. наименьшая из известных в математике бесконечность, я обнаружил, что
где
— сколь угодно большое, но конечное, натуральное число.
В самом деле, логарифм — функция неограниченно возрастающая, значит на бесконечности обращается в бесконечность. Поэтому я сначала предположил, что
. Но тогда
, что неверно, т.к.
. Значит, значение этого логарифма должно быть меньше
. Тогда предположим, что
. Но тогда
, что опять же неверно, поскольку и основание, и показатель этой степени конечны. Значит, искомое значение должно быть больше
.
Таким образом, возникает необходимость введения бесконечностей, меньших счётной:
и т.д.
Тогда противоречий, похоже, не возникает, но каков смысл этих «бесконечностей меньше счётной»? Скажите кто-нибудь, я вообще правильно рассуждаю или это бред сивой кобылы? Повторяю, я дилетант. Спасибо.