Исследовать интеграл на сходимость

[alex10007]

Здравствуйте!
Попалась такая задачка:

Исследовать интеграл на сходимость:
$\int\limits_1^2 \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}\,dx$

Вот мое решение:
1. Исследуем подынтегральную функцию на непрерывность в пределах области интегрирования:

$(1-x^2)(2-x^2)>0$

$(x^2-1)(x^2-1)>0$

$(x-1)(x+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})>0$

$x\in(-\infty;-\sqrt{2})\cup(-1;1)\cup(\sqrt{2};\infty)$

$\Longrightarrow \int\limits_1^2 \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}\,dx=\int\limits_{\sqrt{2}}^{2} \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}\,dx$

2. $\lim_{x\to\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}=\lim_{x\to\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{(x^2-1)(x^2-1)}}=\lim_{x\to\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{(x^2-1)}}\lim_{x\to\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{(x^2-2)}}=$

$=1\cdot \lim_{x\to\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{(x^2-2)}}=\lim_{x\to\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{(2-2)}}=\infty$

$\Longrightarrow \int\limits_{\sqrt{2}}^{2} \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}\,dx$ - несобственный интеграл 2 рода.

3. Исследуем на сходимость $\int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt2}}\,dx$

$\int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt2}}\,dx=\lim\limits_{q\to 0}\int\limits_{\sqrt{2}+q}^2 \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt2}}\,dx=\lim\limits_{q\to 0}\int\limits_{\sqrt{2}+q}^2 \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt2}}\frac {d( (x-\sqrt2)^{0.5} )}{((x-\sqrt2)^{0.5})^{\prime}}=$

$=\lim\limits_{q\to 0}\int\limits_{\sqrt{2}+q}^2 2d( (x-\sqrt2)^{0.5} )=\lim\limits_{q\to 0} \left(2\left((x-\sqrt2)^{0.5} \bigg|_{\sqrt{2}+q}^{2}\right)\right)=2\sqrt{2-\sqrt{2}}$

$\Longrightarrow \int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt2}}\,dx$ - сходится

4. Применим предельный признак для оценки сходимости $\int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}\,dx$

$\lim\limits_{x\to\sqrt{2}}\frac{ \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt2}} }{ \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}} }=\lim\limits_{x\to\sqrt{2}}\frac{ \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt2}} }{ \frac{1}{\sqrt{(x^2-1)(x^2-2)}} }=\lim\limits_{x\to\sqrt{2}}\frac{ \sqrt{(x-1)(x+1)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)} }{ \sqrt{x-\sqrt2} }=$

$=\lim\limits_{x\to\sqrt{2}}\sqrt{(x-1)(x+1)(x+\sqrt2)}=\lim\limits_{x\to\sqrt{2}}\sqrt{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)(2\sqrt2)}=2^{0.75}$

Пусть:

$f(x):f(x)=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}$

$g(x):g(x)=\frac{1}{\sqrt{x-\sqrt2}}$


$ f(x),g(x)$ непрерывны на $(\sqrt2;2]$

$f(x),g(x)$ терпят разрыв при $x=\sqrt2$

$\int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{\sqrt{x-\sqrt2}}\,dx $ - сходится

$\lim\limits_{x\to\sqrt{2}}\frac{g(x)}{f(x)}=2^{0.75}$

$2^{0.75}\in (0;\infty)$

$\Longrightarrow \int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}\,dx $ - сходится

5. В соответствии с пунктом (1)

$\int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}\,dx$ сходится $\Longrightarrow \int\limits_1^2 \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}\,dx$ - сходится

Ответ: Интеграл сходится.

Проверьте, пожалуйста, правильность решения! Меня смущает пункт 1 (вывод из него). С подобным интегралом сталкиваюсь впервые (подынтегральная функция терпит разрыв на промежутке в пределах области интегрирования).
WolframAlpha говорит, что интеграл $\int\limits_{\sqrt{2}}^2 \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(2-x^2)}}\,dx$ сходится (что совпадает с моим ответом).

[thething]

Ответ-то у Вас правильный (в окрестности $\sqrt{2}$), но вот как получен..

Вы оочень много написали для такой простой задачи, не исследовав при этом сходимость в другой особой точке $1$.

При этом зачем-то посчитали интеграл, который и так является эталонным (особенность в конечной точке, степень знаменателя меньше единицы -- сходится).

Подынтегральная функция кстати странная -- не определена на интервале $(1,\sqrt{2})$. Возможно, опечатка в задании.

Давайте так: примените предельный признак сперва в окрестности точки $1$ (если можно), а затем в окрестности точки $\sqrt{2}$. Достаточно использовать простейшую эквивалентность при $x\to a$ $f(x)g(x)\sim f(x)g(a)$, если $g(x)\to g(a)\ne 0,\infty$. Таким образом, у подынтегральной функции отбрасывается лишний "мусор" и получается эталонный интеграл.

[Dan B-Yallay]

thething в сообщении #1317301 писал(а):

Подынтегральная функция кстати странная -- не определена на интервале $(1,\sqrt{2})$. Возможно, опечатка в задании.

Если задача не по тфкп, то функция вообще для иксов больше единицы не определена. А интеграл от 1 до 2.

[thething]

Dan B-Yallay в сообщении #1317302 писал(а):

функция вообще для иксов больше единицы не определена

Почему, на $(\sqrt{2},2)$ нормально же

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Уберите, пожалуйста, текст внутри формул.
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[alex10007]

Спасибо всем за ответы!
thething
Вы посоветовали исследовать сходимость в точке $x=1$.
$x=1-0$ не входит в область интегрирования.
При $x=1$, $x=1+0$ функция не определена.
Действительно ли необходимо исследовать сходимость в точке $x=1$?

[Dan B-Yallay]

thething в сообщении #1317303 писал(а):

Почему, на $(\sqrt{2},2)$ нормально же

Мдя, мне второй квадрат померещился за скобками, а не внутри.

[provincialka]

alex10007 в сообщении #1317311 писал(а):

При $x=1$, $x=1+0$ функция не определена.

Тогда и сам интеграл не определен. Вы самовольно изменили область интегрирования, потому что вам так больше нравится. Но это неправильно.

[Dan B-Yallay]

alex10007 в сообщении #1317311 писал(а):

Действительно ли необходимо исследовать сходимость в точке $x=1$?

Необходимо выяснить, что там с функцией на интервале. Как интегрировать если она не определена на большей части?