Теория относительности

[Erleker]

А преобразование Галилея надо мыслить именно как какой-то "переход", а не линейный оператор в 4-мерном векторном пространстве, действующий на его векторы?

[Munin]

realeugene в сообщении #1317208 писал(а):

Скорости в школе (или же ньютоновской механике, как я понимаю) определяются как пределы отношения разности радиус-векторов к промежутку времени. Промежуток времени - это действительный скаляр. Деление на него векторов не приводит к выходу из векторного пространства, из которого мы берём радиус-вектора. Значит, математически пространство векторов скоростей должно быть тем же самым, что и пространство радиус-векторов.

Здесь есть ошибка: потеряно слово "разности". Разности радиус-векторов относятся не к тому же пространству, что сами радиус-векторы.

Ошибка, простительная школьнику (ему такого не говорят), но не в этом споре.

[realeugene]

Munin в сообщении #1317212 писал(а):

Разности радиус-векторов относятся не к тому же пространству, что сами радиус-векторы

Радиус-вектор точки - это вектор, проведённый из начала координат до точки. В афинном пространстве разности векторов принадлежат тому же векторному пространству, что и сами вектора, ввиду замкнутости векторного пространства относительно операций умножения на скаляр и сложения векторов.

Д-да, я написал не "разность точек", а именно "разность радиус-векторов точек".

-- 04.06.2018, 19:28 --

arseniiv в сообщении #1317210 писал(а):

радиус-векторы точек из разных ИСО сидят в разных пространствах

Мне на мой наивный взгляд кажется, что такой подход ущербен. Если радиус-векторы различных ИСО посадить в различные афинные пространства, то нельзя будет говорить про симметрии пространства. Да и само сложение радиус-векторов как операция перехода к другому началу координат осмысленна без оговорок только если это одно пространство.

-- 04.06.2018, 19:33 --

Erleker в сообщении #1317211 писал(а):

А преобразование Галилея надо мыслить именно как какой-то "переход", а не линейный оператор в 4-мерном векторном пространстве, действующий на его векторы?

Вообще-то преобразование Галилея для координат действует не в векторном пространстве.

[Erleker]

realeugene в сообщении #1317214 писал(а):

Вообще-то преобразование Галилея для координат действует не в векторном пространстве.

Вообще-то представления можно разные смотреть . Радиус-векторы точек образуют векторное пространство.

[realeugene]

Erleker в сообщении #1317217 писал(а):

Радиус-векторы точек образуют векторное пространство.

Но преобразования Галилея в нём не являются линейным оператором.
За исключением отдельных частных случаев, конечно.

[Erleker]

realeugene в сообщении #1317219 писал(а):

Erleker в сообщении #1317217 писал(а):

Радиус-векторы точек образуют векторное пространство.

Но преобразования Галилея в нём не являются линейным оператором.

Речь была о радиус-векторах $(t,r)$.

[realeugene]

Erleker,

наверное, можно.

(Оффтоп)

бедные школьники!

PS Нет, нельзя. Преобразования Галилея включают в себя сдвиг координат.
И.М.Яглом. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. "Наука", Москва, 1969, стр. 38.

[Erleker]

Да, тут акцент на:

Erleker в сообщении #1317211 писал(а):

надо мыслить

...
(Хотя этот вопрос не требует ответа вообще...)

-- 04 июн 2018 19:55 --

realeugene в сообщении #1317222 писал(а):

И.М.Яглом. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. "Наука", Москва, 1969, стр. 38.

А как насчет ЛЛ-1, например?

[arseniiv]

realeugene в сообщении #1317214 писал(а):

Мне на мой наивный взгляд кажется, что такой подход ущербен. Если радиус-векторы различных ИСО посадить в различные афинные пространства, то нельзя будет говорить про симметрии пространства.

А кто мешает рассматривать четырёхмерное пространство-время и для него делать утверждения?

realeugene в сообщении #1317214 писал(а):

Да и само сложение радиус-векторов как операция перехода к другому началу координат осмысленна без оговорок только если это одно пространство.

Когда мы говорим о радиус-векторах, мы всегда имеем в уме некоторую точку аффинного пространства, которую мы вычитаем из интересующих, чтобы получить из радиус-векторы. Если аффинное пространство точек пространства, «выделяемого» одной ИСО отличается от того же другой ИСО (а их нельзя канонически сопоставить — они получаются факторизацией пространства-времени по двум несовместимым отношениям), то и одну и ту же точку, чтобы получить одно и то же пространство радиус-векторов, мы не найдём в обоих. Это, собственно, ещё одна (или всё та же, пересказанная иными словами) причина против понимания упоминавшейся выше штуки как сложения.

Плюс, радиус-векторы можно, конечно, считать принадлежащими тому же векторному пространству, которое сопутствует аффинному, но раз они зависят от точки, а «просто векторы» параллельного переноса (или касательные — вот эти два типа и отождествимы для аффинного пространства) нет, толку в этом немного.

[realeugene]

Erleker в сообщении #1317224 писал(а):

А как насчет ЛЛ-1, например?

ЛЛ любили всё упрощать.

Цитата:

галилеевыми преобразованиями являются аффинные преобразования $A^4$, сохраняющими интервалы времени и расстояния между одновременными событиями

В. И. Арнольд, "Математические методы классической механики".

Кстати, там же:

Цитата:

Мир - четырехмерное аффинное пространство $A^4$

То есть, никак не по отдельному аффинному пространству для каждой ИСО.
Арнольд специально везде пишет "инерциальная система координат".

[Erleker]

realeugene
В разных источниках по-разному с наличием сдвига, не только ЛЛ. Ну, пусть будет со сдвигом, $A^4$.

[arseniiv]

realeugene в сообщении #1317228 писал(а):

То есть, никак не по отдельному аффинному пространству для каждой ИСО.

Так вы же говорили о пространстве, а не пространстве-времени. Трёхмерное аффинное пространство при введении ИСО возникает, как факторизация пространства-времени. Ну и они там немного недоговорили: одной аффинности мало, нужно ввести ещё дополнительную структуру расслоения (и ещё), которая упоминается у того же Пенроуза (в «Структуре реальности» или где-то там), иначе нам не хватит для физики.

А про группы действительно известная вещь. Раз галилеево и минковское пространство-время оба аффинные, можно рассматривать только группу тех автоморфизмов, которые оставляют на месте некоторую точку (то есть брать соответствующие векторные пространства), вот и получается, что одним и тем же именем могут звать две разные — содержащие параллельные переносы и не содержащие. А с группой Лоренца ещё больше путаницы: то берут всю, а то только связную компоненту единицы.

[Munin]

realeugene в сообщении #1317222 писал(а):

Преобразования Галилея включают в себя сдвиг координат.

Смотря о каких преобразованиях (и какого пространства) речь.

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1317230 писал(а):

Ну и они там немного недоговорили: одной аффинности мало, нужно ввести ещё дополнительную структуру расслоения (и ещё), которая упоминается у того же Пенроуза (в «Структуре реальности» или где-то там), иначе нам не хватит для физики.

Ну у Арнольда вроде бы про ОТО речь ещё не идёт. Он определяет трёхмерное пространство как аффинное подпространство одновременности $A^3$.

Впрочем, нет, про касательно расслоение Арнольд пишет подробно.

[arseniiv]

realeugene в сообщении #1317245 писал(а):

Ну у Арнольда вроде бы про ОТО речь ещё не идёт.

А зачем ОТО? Это всё ещё о галилеевом пространстве-времени.

-- Пн июн 04, 2018 23:37:19 --

И расслоение тут не касательное имеется в виду.