Вопрос о классификации групп (и не только групп)

[Munin]

nya в сообщении #1315556 писал(а):

Тут например

https://math.stackexchange.com/question ... t-products

https://math.stackexchange.com/question ... extensions

Спасибо большое, прочитал ваши ссылки!

Теперь у меня следующий вопрос. Для полупрямого произведения есть явная конструкция "как его делать" состоящая в гомоморфизме одного множителя в группу автоморфизмов другого множителя. А для расширения - есть ли что-то аналогичное? (Извините, я не захватываю тему?..)

[vpb]

g______d в сообщении #1315654 писал(а):

Про одну я уже сказал (не группа). Вторая в словах "по подгруппе" (правильно "расширение группы $H_2$ при помощи $H_1$", или наоборот). Ну и после одной такой операции $H_1$ перестанет быть простой, но это скорее неточность.

Ну это всё, мягко говоря,
мелочи, а совсем не то, что я имел в виду. Если Вы так считаете, то выходит, что фразу

nya в сообщении #1315409 писал(а):

"расширения группы по подгруппе $0 \to H_1 \to G \to H_2 \to 0$" из простых. А количество таких расширений очень хорошо контролируется группой $Ext^1(H_2,H_1)$

Вы считаете в целом правильной. Правильно ли я Вас понимаю в этом вопросе ?

g______d в сообщении #1315654 писал(а):

Я привёл два места, где эта точная формулировка приведена. Сомневаюсь, что имелось в виду что-то другое.

Во-первых, должен сказать, что я исходно задавал вопрос nya, а Вы сами взялись отвечать, так что не обессудьте, что я именно к Вам теперь и обращаюсь за ответом, если что. Впрочем, я бы приветствовал, если бы и nya тоже отвечал. Во-вторых, Вы упоминали много мест, и какие два из них Вы имеете в виду, мне догадаться трудно. Кроме того, ссылка типа "это приведено на такой-то странице в Википедии" --- это все-таки не более-менее точная формулировка. Кроме того, на той странице в Википедии я не видел того утверждения, которое было в обсуждаемой фразе. Не могли бы Вы привести искомую формулировку здесь в готовом виде ? Если она где-то там приведена, то, вероятно, не составляет труда ее прямо сюда и переписать, не правда ли ? (Я надеюсь, что она не займет больше 10-15 строк).

[xjar1]

Всем спасибо за ответы!

Munin в сообщении #1315688 писал(а):

Извините, я не захватываю тему?

Я думаю, все в порядке

[g______d]

vpb в сообщении #1315762 писал(а):

Ну это всё, мягко говоря,
мелочи, а совсем не то, что я имел в виду.

Спасибо. Кажется, я понял, что Вы имеете в виду (если так, то Вы безусловно правы и я этого не знал), но в целях сохранения интриги отправил ЛС.

[nya]

Munin в сообщении #1315688 писал(а):

Теперь у меня следующий вопрос. Для полупрямого произведения есть явная конструкция "как его делать" состоящая в гомоморфизме одного множителя в группу автоморфизмов другого множителя. А для расширения - есть ли что-то аналогичное? (Извините, я не захватываю тему?..)

Каждое расширение можно представить как "полупрямое произведение подкрученное на неабелев $2$-коцикл хохшильда", это то что теорией Шриера (Schrier) называется.

[Munin]

Вау. А коциклы больше 2 не нужны?

-- 29.05.2018 16:34:41 --

Впрочем, наверное, нет.

[nya]

Высшие коциклы часто удобно рассматривать как "высшие деформации" или "гомотопические деформации", но никакого прямого смысла в "не в высших терминах" у них обычно нету.

[Munin]

Нет, у меня возникла мысль, что если бы мы собирали группу (какое-то "расширение") из трёх подгрупп, то можно было бы ввести 3-коцикл, и так далее. Опираясь на геометрический смысл слова "коцикл" в диф. топологии (Де Рама, кажется).

Но поскольку мы собираем группы всегда из двух составляющих, во всех вариантах цепочки "прямое произведение - полупрямое произведение (расщеплённое расширение) - расширение", то нам коциклы размерности более 2 и не потребуются. Полупрямое произведение можно рассматривать как основанное на 1-коцикле, вносящем неабелевость.

Почему всегда из двух? Здесь, мне кажется, причина в том, что операция в группе бинарная, и соответственно, мы рассматриваем конструкции типа точных последовательностей, в которых каждый член имеет две стрелки слева и справа.

Ну, это всё наивно, конечно же.

-- 30.05.2018 09:14:57 --

nya в сообщении #1315775 писал(а):

Каждое расширение можно представить как "полупрямое произведение подкрученное на неабелев 2-коцикл Хохшильда", это то что теорией Шриера (Schrier) называется.

Быстрая гуглёжка ничего не дала. Вики, похоже, этого не знает. Есть какие-нибудь ссылки на простые пояснения, например, на Math.SE?

[lek]

Munin в сообщении #1316181 писал(а):

Есть какие-нибудь ссылки на простые пояснения...

Вот здесь, например. Изложение для физиков, поэтому вполне элементарно. Много ссылок. Искать на странице (Shift-F) следует Schreier, а не Schrier.

[Munin]

А, вот Schreier мне чаще попадалось, но я думал, что это не то.
Спасибо!

-- 30.05.2018 10:02:34 --

Просто порадоваться библиографической ссылке:

Michael Berry, Chaos and the semiclassical limit of quantum mechanics (is the moon there when somebody looks?), in Quantum Mechanics: Scientific Perspectives on Divine Action, CTNS Publications, Vatican Observatory, 2001.

[Munin]

lek
Очень большой и сложный текст. Я пока продвинулся только до пункта 8), и думаю, не пропустить ли его сразу до пункта 9), или там связанные по смыслу вещи.

[Munin]

Именно пункт 8) мне и нужен.
Удивительно, насколько яснее запись $1\to F\to E\to B\to 1,$ чем $0\to H\to G\to K\to 0,$ хотя написано одно и то же!

[Munin]

Натолкнулся на термин 2-группа. Кажется, я неправильно понял термин "2-коцикл".

-- 30.05.2018 21:27:01 --

Правильно ли я понял, что 2-группа - это такая категория, что
- объекты категории образуют группу;
- морфизмы категории образуют группоид?

-- 30.05.2018 21:31:11 --

Всё равно, фраза

Цитата:

In higher gauge theory, parallel transport along a path is described by an object in a 2-group, while parallel transport along a path-of-paths is described by a morphism.

выглядит так, что размерность топологических сущностей (здесь path-of-paths - двумерная цепь, отображение $S^2$ в пространство) задаёт "уровень" категорных сущностей. То есть, для 3-цепей нужны были бы 3-группы, и так далее. В чём моя ошибка?

-- 30.05.2018 21:48:34 --

С сожалением закрываю текст Baez-а, с пожеланием вернуться к нему.

Постороннее замечание: а как в "электромагнетизме на решётке" понять второе уравнение Максвелла, которое со звёздочкой?

[nya]

Munin в сообщении #1316349 писал(а):

Правильно ли я понял, что 2-группа - это такая категория, что
- объекты категории образуют группу;
- морфизмы категории образуют группоид?

Строгая да + условия согласованности умножения объектов со стрелками.

Munin в сообщении #1316349 писал(а):

выглядит так, что размерность топологических сущностей (здесь path-of-paths - двумерная цепь, отображение $S^2$ в пространство) задаёт "уровень" категорных сущностей. То есть, для 3-цепей нужны были бы 3-группы, и так далее. В чём моя ошибка?

Коциклы Хохшильда не связаны с высшими группами (в смысле вертикальой категорификации понятия "группа"). По $k$- коциклу обычно строится что-то типа $0 \to A \to K_1 \to ... \to K_k \to B \to 0$, но не в контексте групп. к сожалению (в контексте групп вообще непонятно что эта строка значить должна).
А так да, точки - объекты, пути - морфизмы, пути между путями - 2-морфизмы и тд.

[lek]

Munin в сообщении #1316349 писал(а):

как в "электромагнетизме на решётке" понять второе уравнение Максвелла, которое со звёздочкой?

В начале 8-го пункта есть ссылка (gr-qc/0510033), где в разделе 5 есть ответ на ваш вопрос. Касаемо 2-групп ничего конструктивного сказать не могу, не мой профиль.