2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение28.05.2018, 21:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
nya в сообщении #1315556 писал(а):

Спасибо большое, прочитал ваши ссылки!

Теперь у меня следующий вопрос. Для полупрямого произведения есть явная конструкция "как его делать" состоящая в гомоморфизме одного множителя в группу автоморфизмов другого множителя. А для расширения - есть ли что-то аналогичное? (Извините, я не захватываю тему?..)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение29.05.2018, 00:50 
Заслуженный участник


18/01/15
3237
g______d в сообщении #1315654 писал(а):
Про одну я уже сказал (не группа). Вторая в словах "по подгруппе" (правильно "расширение группы $H_2$ при помощи $H_1$", или наоборот). Ну и после одной такой операции $H_1$ перестанет быть простой, но это скорее неточность.
Ну это всё, мягко говоря,
мелочи, а совсем не то, что я имел в виду. Если Вы так считаете, то выходит, что фразу
nya в сообщении #1315409 писал(а):
"расширения группы по подгруппе $0 \to H_1 \to G \to H_2 \to 0$" из простых. А количество таких расширений очень хорошо контролируется группой $Ext^1(H_2,H_1)$
Вы считаете в целом правильной. Правильно ли я Вас понимаю в этом вопросе ?

g______d в сообщении #1315654 писал(а):
Я привёл два места, где эта точная формулировка приведена. Сомневаюсь, что имелось в виду что-то другое.
Во-первых, должен сказать, что я исходно задавал вопрос nya, а Вы сами взялись отвечать, так что не обессудьте, что я именно к Вам теперь и обращаюсь за ответом, если что. Впрочем, я бы приветствовал, если бы и nya тоже отвечал. Во-вторых, Вы упоминали много мест, и какие два из них Вы имеете в виду, мне догадаться трудно. Кроме того, ссылка типа "это приведено на такой-то странице в Википедии" --- это все-таки не более-менее точная формулировка. Кроме того, на той странице в Википедии я не видел того утверждения, которое было в обсуждаемой фразе. Не могли бы Вы привести искомую формулировку здесь в готовом виде ? Если она где-то там приведена, то, вероятно, не составляет труда ее прямо сюда и переписать, не правда ли ? (Я надеюсь, что она не займет больше 10-15 строк).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение29.05.2018, 01:27 


02/12/16
60
Всем спасибо за ответы!

Munin в сообщении #1315688 писал(а):
Извините, я не захватываю тему?

Я думаю, все в порядке :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение29.05.2018, 01:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
vpb в сообщении #1315762 писал(а):
Ну это всё, мягко говоря,
мелочи, а совсем не то, что я имел в виду.


Спасибо. Кажется, я понял, что Вы имеете в виду (если так, то Вы безусловно правы и я этого не знал), но в целях сохранения интриги отправил ЛС.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение29.05.2018, 02:27 


17/04/18
143
Munin в сообщении #1315688 писал(а):
Теперь у меня следующий вопрос. Для полупрямого произведения есть явная конструкция "как его делать" состоящая в гомоморфизме одного множителя в группу автоморфизмов другого множителя. А для расширения - есть ли что-то аналогичное? (Извините, я не захватываю тему?..)

Каждое расширение можно представить как "полупрямое произведение подкрученное на неабелев $2$-коцикл хохшильда", это то что теорией Шриера (Schrier) называется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение29.05.2018, 16:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вау. А коциклы больше 2 не нужны?

-- 29.05.2018 16:34:41 --

Впрочем, наверное, нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение30.05.2018, 02:48 


17/04/18
143
Высшие коциклы часто удобно рассматривать как "высшие деформации" или "гомотопические деформации", но никакого прямого смысла в "не в высших терминах" у них обычно нету.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение30.05.2018, 08:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Нет, у меня возникла мысль, что если бы мы собирали группу (какое-то "расширение") из трёх подгрупп, то можно было бы ввести 3-коцикл, и так далее. Опираясь на геометрический смысл слова "коцикл" в диф. топологии (Де Рама, кажется).

Но поскольку мы собираем группы всегда из двух составляющих, во всех вариантах цепочки "прямое произведение - полупрямое произведение (расщеплённое расширение) - расширение", то нам коциклы размерности более 2 и не потребуются. Полупрямое произведение можно рассматривать как основанное на 1-коцикле, вносящем неабелевость.

Почему всегда из двух? Здесь, мне кажется, причина в том, что операция в группе бинарная, и соответственно, мы рассматриваем конструкции типа точных последовательностей, в которых каждый член имеет две стрелки слева и справа.

Ну, это всё наивно, конечно же.

-- 30.05.2018 09:14:57 --

nya в сообщении #1315775 писал(а):
Каждое расширение можно представить как "полупрямое произведение подкрученное на неабелев 2-коцикл Хохшильда", это то что теорией Шриера (Schrier) называется.

Быстрая гуглёжка ничего не дала. Вики, похоже, этого не знает. Есть какие-нибудь ссылки на простые пояснения, например, на Math.SE?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение30.05.2018, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874
Munin в сообщении #1316181 писал(а):
Есть какие-нибудь ссылки на простые пояснения...

Вот здесь, например. Изложение для физиков, поэтому вполне элементарно. Много ссылок. Искать на странице (Shift-F) следует Schreier, а не Schrier.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение30.05.2018, 09:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А, вот Schreier мне чаще попадалось, но я думал, что это не то.
Спасибо!

-- 30.05.2018 10:02:34 --

Просто порадоваться библиографической ссылке:
    Michael Berry, Chaos and the semiclassical limit of quantum mechanics (is the moon there when somebody looks?), in Quantum Mechanics: Scientific Perspectives on Divine Action, CTNS Publications, Vatican Observatory, 2001.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение30.05.2018, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
lek
Очень большой и сложный текст. Я пока продвинулся только до пункта 8), и думаю, не пропустить ли его сразу до пункта 9), или там связанные по смыслу вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение30.05.2018, 17:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Именно пункт 8) мне и нужен.
Удивительно, насколько яснее запись $1\to F\to E\to B\to 1,$ чем $0\to H\to G\to K\to 0,$ хотя написано одно и то же!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение30.05.2018, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Натолкнулся на термин 2-группа. Кажется, я неправильно понял термин "2-коцикл".

-- 30.05.2018 21:27:01 --

Правильно ли я понял, что 2-группа - это такая категория, что
- объекты категории образуют группу;
- морфизмы категории образуют группоид?

-- 30.05.2018 21:31:11 --

Всё равно, фраза
    Цитата:
    In higher gauge theory, parallel transport along a path is described by an object in a 2-group, while parallel transport along a path-of-paths is described by a morphism.
выглядит так, что размерность топологических сущностей (здесь path-of-paths - двумерная цепь, отображение $S^2$ в пространство) задаёт "уровень" категорных сущностей. То есть, для 3-цепей нужны были бы 3-группы, и так далее. В чём моя ошибка?

-- 30.05.2018 21:48:34 --

С сожалением закрываю текст Baez-а, с пожеланием вернуться к нему.

Постороннее замечание: а как в "электромагнетизме на решётке" понять второе уравнение Максвелла, которое со звёздочкой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение30.05.2018, 22:52 


17/04/18
143
Munin в сообщении #1316349 писал(а):
Правильно ли я понял, что 2-группа - это такая категория, что
- объекты категории образуют группу;
- морфизмы категории образуют группоид?

Строгая да + условия согласованности умножения объектов со стрелками.
Munin в сообщении #1316349 писал(а):
выглядит так, что размерность топологических сущностей (здесь path-of-paths - двумерная цепь, отображение $S^2$ в пространство) задаёт "уровень" категорных сущностей. То есть, для 3-цепей нужны были бы 3-группы, и так далее. В чём моя ошибка?

Коциклы Хохшильда не связаны с высшими группами (в смысле вертикальой категорификации понятия "группа"). По $k$- коциклу обычно строится что-то типа $0 \to A \to  K_1 \to ... \to K_k \to B \to 0$, но не в контексте групп. к сожалению (в контексте групп вообще непонятно что эта строка значить должна).
А так да, точки - объекты, пути - морфизмы, пути между путями - 2-морфизмы и тд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос о классификации групп (и не только групп)
Сообщение30.05.2018, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874
Munin в сообщении #1316349 писал(а):
как в "электромагнетизме на решётке" понять второе уравнение Максвелла, которое со звёздочкой?

В начале 8-го пункта есть ссылка (gr-qc/0510033), где в разделе 5 есть ответ на ваш вопрос. Касаемо 2-групп ничего конструктивного сказать не могу, не мой профиль.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 77 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group