Тригонометрия

[Aritaborian]

bot в сообщении #1315524 писал(а):

без представления на тригонометрическом круге

Для меня тригонометрическая окружность, усердно вдалбливаемая в наши времена в школе, всегда была каким-то непонятным пугалом и до сих пор снится в кошмарах. Куда удобнее представлять графики: синусоиду etc.

[Mikhail_K]

Aritaborian в сообщении #1315630 писал(а):

Куда удобнее представлять графики: синусоиду etc.

Кому как. Многим удобнее окружность.

[arseniiv]

bot в сообщении #1315524 писал(а):

Формулы приведения и сейчас - без представления на тригонометрическом круге или подстановки конкретного значения не могу быть уверенным в знаке.

У себя я решил эту проблему, когда додумался представлять сдвиги графиков (уяснив к тому времени, что прибавление положительной константы сдвигает влево). Понятно, что наверно поздно предлагать, но мало ли (ну и кому-то ещё, может быть, пригодится). А вот представлять то же, но с кругом мне почему-то неудобнее. Наверно, надо провести опрос!

Aritaborian в сообщении #1315630 писал(а):

Для меня тригонометрическая окружность, усердно вдалбливаемая в наши времена в школе, всегда была каким-то непонятным пугалом и до сих пор снится в кошмарах.

Ну, как определение она на школьном уровне идеальна. И для решения простейших уравнений, исходя сразу из определения — почему бы тоже и нет. Абъюзили ли лично у меня − не помню.

[ewert]

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1315294 писал(а):

на самое элементарное студенты на первый курс всё равно приходят без элементарных знаний по тригонометрии.

Это Вы перебрали. Я когда недавно спрашивал у своих нонешних первокурсников (в связи с операционным исчислением): а какие, дескать, есть полезные формулы для куба косинуса или синуса?... -- так в каждой из трёх моих групп встречались кадры, припоминавшие чего-то там про тройной угол. Некоторые даже и формулы помнили, хоть это уже и не принципиально.

Между тем я в их годы эти формулы совсем не помнил или даже не знал -- за их необязательностью...

[Munin]

Aritaborian в сообщении #1315630 писал(а):

Для меня тригонометрическая окружность, усердно вдалбливаемая в наши времена в школе, всегда была каким-то непонятным пугалом и до сих пор снится в кошмарах. Куда удобнее представлять графики: синусоиду etc.

Чтобы она не была пугалом, достаточно сказать себе, что это образ мнимой прямой на комплексной плоскости при отображении $z\mapsto e^z.$ И разумеется,

$\begin{aligned}&\cos x=\operatorname{Re}e^{ix}=\tfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\&\sin x=\operatorname{Im}e^{ix}=\tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\\end{aligned}$

[Aritaborian]

Mikhail_K в сообщении #1315650 писал(а):

Кому как.

Ну разумеется, кому как ;-) Но всё-таки я полностью согласен с позицией arseniiv, приведённой им чуть ниже (впрочем, всё это уже здесь когда-то обсуждалось; боюсь, что даже теми же самыми словами).

Munin в сообщении #1315677 писал(а):

Чтобы она не была пугалом, достаточно сказать себе, что это образ мнимой прямой на комплексной плоскости при отображении $z\mapsto e^z.$ И разумеется...

Ну это ясен пень. Это всё я понимаю. Но это всё-таки уже какой-то совсем другой (по ощущению вложения его в мозг) образ окружности применительно к тригонометрии. Это как ощущение от какого-нибудь великого произведения русской литературы, когда мне сначала пытались (насильно, жестоко и безрезультатно) впилить его в мозг на уроках, а уж потом, после школы я прочёл его самостоятельно.

[Munin]

Aritaborian в сообщении #1315719 писал(а):

Но это всё-таки уже какой-то совсем другой (по ощущению вложения его в мозг) образ окружности применительно к тригонометрии.

Ну, некоторые считают, что это должен быть тот самый (первый) :-) А. Савватеев, например.

А так, ну окружность и окружность.

Кажется, я понимаю, почему мне не идиосинкрастична окружность. Потому что мне очень рано (до школы) рассказали про фигуры Лиссажу. Что будет, если по $x$ мы движемся по одной синусоиде, а по $y$ - по другой, смещённой по фазе, в общем случае с другой частотой. Ну и тригонометрическая окружность тут - просто частный случай. Зато и в обратную сторону, порождающий эти синусоиды.

В общем, никакого противопоставления окружности и графиков у меня нет. Кроме того, рядом с ними и формулы. Это всё грани единого целого. И $\sh,\ch,\th$ рядом с ними. А вот всякие "интегральные синусы" до сих пор не знаю, с какого боку припёка.