2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 17:36 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
(навеяно темой о пределах)

Вычислить предел: $$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sqrt{1+2x}-1}$$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаю:
$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x(\sqrt{1+2x}+1)}{2x}$$

Затем делю всю эту конструкцию на икс:
$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+2x}+1}{2}$$

И получаю, ессно, 1.

Но ответ в учебнике, почему-то, равен 2, хоть головой о стену бейся.
(Сборник задач по высшей математике для экономистов, стр. 147, зад. №11.42, пункт а))

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Правильно у Вас

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 17:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
thething в сообщении #1314904 писал(а):
Правильно у Вас

Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 17:40 


21/05/16
4292
Аделаида
Альфа согласна с вами: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%2F(sqrt(2x%2B1)-1)+to+0

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
На всякий случай, ещё пруф: $\sqrt{1+2x}-1\sim \frac{1}{2}\cdot 2x=x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 18:13 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
thething в сообщении #1314908 писал(а):
На всякий случай, ещё пруф: $\sqrt{1+2x}-1\sim \frac{1}{2}\cdot 2x=x$

Это ещё с каких пор? Возьмите, скажем, $x=2018$, там приближённым равенством и не пахнет.

-- 25.05.2018, 18:13 --

kotenok gav в сообщении #1314906 писал(а):
Альфа согласна с вами: http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... qrt(2x%2B1)-1)+to+0

Ваша ссылка не открывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Ktina в сообщении #1314923 писал(а):
Это ещё с каких пор? Возьмите, скажем, $x=2018$, там приближённым равенством и не пахнет.

Да, это так! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 18:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10084
Ktina в сообщении #1314923 писал(а):
Это ещё с каких пор? Возьмите, скажем, $x=2018$, там приближённым равенством и не пахнет.

Очевидно же, что подразумевалось "х стремится к нулю" -- как в Вашей исходной задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 18:34 


21/05/16
4292
Аделаида
Ktina в сообщении #1314923 писал(а):
Ваша ссылка не открывается.

Исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Ktina в сообщении #1314923 писал(а):
Это ещё с каких пор? Возьмите, скажем, $x=2018$, там приближённым равенством и не пахнет.

Ну так у всего есть своя область применимости. При $x\to 0$ именно так. Вам показали, как вычисляется предел значительно проще, если знать о понятии эквивалентности функций. Ваш метод более кустарный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 22:13 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
Ktina в сообщении #1314923 писал(а):
thething в сообщении #1314908 писал(а):
$\sqrt{1+2x}-1\sim \frac{1}{2}\cdot 2x=x$
Это ещё с каких пор? Возьмите, скажем, $x=2018$, там приближённым равенством и не пахнет.
А вы принюхайтесь получше. Лень вспоминать остаточный член ряда Тейлора, но таки обязано приблизительно равняться. Ну, плюс-минус чего-то порядка $2018^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение25.05.2018, 22:56 


14/01/11
3083
iifat в сообщении #1315012 писал(а):
Лень вспоминать остаточный член ряда Тейлора, но таки обязано приблизительно равняться.

Всё ж таки это значок не приблизительного равенства, а эквивалентности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить предел (не сходится ответ)
Сообщение26.05.2018, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5934
Новосибирск
А эквивалентность и есть приблизительное равенство с точностью до о-малой: $f\sim g\Leftrightarrow f=g+o(g)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group