Вычислить предел (не сходится ответ)

[Ktina]

(навеяно темой о пределах)

Вычислить предел:

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sqrt{1+2x}-1}$$

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаю:

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x(\sqrt{1+2x}+1)}{2x}$$

Затем делю всю эту конструкцию на икс:

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+2x}+1}{2}$$

И получаю, ессно, 1.

Но ответ в учебнике, почему-то, равен 2, хоть головой о стену бейся.
(Сборник задач по высшей математике для экономистов, стр. 147, зад. №11.42, пункт а))

[thething]

Правильно у Вас

[Ktina]

thething в сообщении #1314904 писал(а):

Правильно у Вас

Большое спасибо!

[kotenok gav]

Альфа согласна с вами: http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%2F(sqrt(2x%2B1)-1)+to+0

[thething]

На всякий случай, ещё пруф: $\sqrt{1+2x}-1\sim \frac{1}{2}\cdot 2x=x$

[Ktina]

thething в сообщении #1314908 писал(а):

На всякий случай, ещё пруф: $\sqrt{1+2x}-1\sim \frac{1}{2}\cdot 2x=x$

Это ещё с каких пор? Возьмите, скажем, $x=2018$, там приближённым равенством и не пахнет.

-- 25.05.2018, 18:13 --

kotenok gav в сообщении #1314906 писал(а):

Альфа согласна с вами: http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... qrt(2x%2B1)-1)+to+0

Ваша ссылка не открывается.

[thething]

Ktina в сообщении #1314923 писал(а):

Это ещё с каких пор? Возьмите, скажем, $x=2018$, там приближённым равенством и не пахнет.

Да, это так!

[Dan B-Yallay]

Ktina в сообщении #1314923 писал(а):

Это ещё с каких пор? Возьмите, скажем, $x=2018$, там приближённым равенством и не пахнет.

Очевидно же, что подразумевалось "х стремится к нулю" -- как в Вашей исходной задаче.

[kotenok gav]

Ktina в сообщении #1314923 писал(а):

Ваша ссылка не открывается.

Исправил.

[Metford]

Ktina в сообщении #1314923 писал(а):

Это ещё с каких пор? Возьмите, скажем, $x=2018$, там приближённым равенством и не пахнет.

Ну так у всего есть своя область применимости. При $x\to 0$ именно так. Вам показали, как вычисляется предел значительно проще, если знать о понятии эквивалентности функций. Ваш метод более кустарный.

[iifat]

Ktina в сообщении #1314923 писал(а):

thething в сообщении #1314908 писал(а):

$\sqrt{1+2x}-1\sim \frac{1}{2}\cdot 2x=x$

Это ещё с каких пор? Возьмите, скажем, $x=2018$, там приближённым равенством и не пахнет.

А вы принюхайтесь получше. Лень вспоминать остаточный член ряда Тейлора, но таки обязано приблизительно равняться. Ну, плюс-минус чего-то порядка $2018^2$.

[Sender]

iifat в сообщении #1315012 писал(а):

Лень вспоминать остаточный член ряда Тейлора, но таки обязано приблизительно равняться.

Всё ж таки это значок не приблизительного равенства, а эквивалентности.

[bot]

А эквивалентность и есть приблизительное равенство с точностью до о-малой: $f\sim g\Leftrightarrow f=g+o(g)$