Предел дробной рациональной функции

[Ivan_B]

В задачнике(Демидович) относительно много упражнений на нахождения предела вида
$\lim\limits_{x\to a}\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_{m-1}x+a_m}$
Они показались мне однотипными:
1. Если знаменатель в точке $a$ не равен $0$, то функция непрерывна в этой точке. Поэтому для вычисления предела достаточно вычислить значение функции в точке $a$
2. Иначе если возможно сократить дробь на $(x-a)^k$ так, чтобы знаменатель не обращался в 0, получается пункт 1.
Иначе в знаменателе останется множитель $(x-a)^l$ Если $l$ - четное, то пределом будет $+\infty$ или $-\infty$ в зависимости от знака остального выражения в точке $a$
Иначе предел не существует
$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\dots+b_{m-1}x+a_m}$
Если степени числителя и знаменателя равны, то нужно поделить числитель и знаменатель на $x^n$ и предел будет равен $\frac{a_0}{b_0}$, иначе предел будет равен $0$, если степень знаменателя больше, и $\infty$, если меньше.

Есть упражнения с усложнениями: $\lim\limits_{x \to 1}\frac{x+x^2+\dots+x^n-n}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1}(x^{n-1}+2x^{n-2}+\dots+(n-1)x+n) = \frac{n(n+1)}{2}$, но они как бы к сути дела не относятся.
Получается, что решать все упражнения такого типа нет необходимости или "усложнения" тоже важны?

[thething]

Ivan_B в сообщении #1314632 писал(а):

Получается, что решать все упражнения такого типа нет необходимости или "усложнения" тоже важны?

Видимо, надо смотреть по ощущениям. Если сразу видите ответ или хотя бы стопроцентно понимаете, как тут решать, то необходимости нет. Хотя, смотря какие усложнения имеются ввиду, а то вдруг там какой-то интересный особый случай, а Вы пройдете мимо. В конечном итоге всё сводится либо к делению многочленов (в случае конечной предельной точки), либо к отношению старших степеней (в случае бесконечной).

-- 24.05.2018, 20:28 --

Ivan_B в сообщении #1314632 писал(а):

Есть упражнения с усложнениями: $\lim\limits_{x \to 1}\frac{x+x^2+\dots+x^n-n}{x-1}=\lim\limits_{x \to 1}(x^{n-1}+2x^{n-2}+\dots+(n-1)x+n) = \frac{n(n+1)}{2}$, но они как бы к сути дела не относятся.

Почему же не относятся? Как раз неопределенность $\frac{0}{0}$, т.е. числитель надо поделить на $x-1$ и сократить со знаменателем.

[Ivan_B]

thething в сообщении #1314639 писал(а):

вдруг там какой-то интересный особый случай, а Вы пройдете мимо.

Я предположил, что такого случая там нет. Раз он там может быть придется решать все. Не так уж их там и много.

thething в сообщении #1314639 писал(а):

Почему же не относятся?

Я имел в виду само "усложнение". Делить на $x-1$ как бы "сложней" чем обычно.

[bot]

thething в сообщении #1314639 писал(а):

В конечном итоге всё сводится либо к делению многочленов (в случае конечной предельной точки)

Оно конечно сводится, но в некоторых случаях вряд ли захочется сводить, скажем здесь
428. $\lim\limits_{x\to1}\left(\frac m{1-x^m}-\frac n{1-x^n}\right)$

[Ivan_B]

bot в сообщении #1314766 писал(а):

428. $\lim\limits_{x\to1}\left(\frac m{1-x^m}-\frac n{1-x^n}\right)$

Замена $x=y+1$, дальше в лоб
$\lim\limits_{y \to 0}\left(\frac{m}{-my-\frac{m(m-1)}{2}y^2-\dots}-\frac{n}{-ny-\frac{n(n-1)}{2}y^2-\dots}\right)=$
$\lim\limits_{y \to 0}\frac{\left(-\frac{mn(n-1)}{2}+\frac{nm(m-1)}{2}\right)y^2+\dots}{\left(-my-\dots\right)\left(-ny-\dots\right)}=$
$\frac{mn(m-n)}{2mn}=\frac{m-n}{2}$
Можно как-то не раскрывая скобок?

[thething]

bot в сообщении #1314766 писал(а):

Оно конечно сводится, но в некоторых случаях вряд ли захочется сводить

Ну да, случаи бывают всякие, но от безысходности можно и поделить)

Ivan_B в сообщении #1314779 писал(а):

Можно как-то не раскрывая скобок?

Можно в компактных обозначениях: $(1+x)^n=1+\sum\limits_{k=1}^{n}C_n^kx^k$, ну и дальше к общему знаменателю, потом -- в знаменателе выделить и оставить только $x^2C_n^1C_m^1$ (при этом никаких скобок раскрывать не нужно), в числителе выделить сперва $x$, потом заметить, что сокращается $mn$ и выделяется ещё один $x$, после чего в числителе остаётся $C_m^2-C_n^2$. Никаких скобок тут тоже не раскрываем.

[bot]

Never Say Never Again
Неосмотрительно подумал, что здесь такой безысходности нет, так как достаточно рассмотреть случай n=1 (хотя бы и в лоб, но безысходности тоже нет), а затем воспользоваться тождеством $a-b=(a-c)-(b-c)$.
Подбирать пример, когда безысходность приведёт к человеческим жертвам громоздким вычислениям, не хочется.

[TOTAL]

$m,n$ могут быть не целыми

$$\lim\limits_{x\to1}\left(\frac m{1-x^m}-\frac n{1-x^n}\right)=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac m{1-x^{-m}}-\frac n{1-x^{-n}}\right)=$$

$$\dfrac12\lim\limits_{x\to1}\left(\frac m{1-x^m}+\frac m{1-x^{-m}}-\frac n{1-x^n}-\frac n{1-x^{-n}}\right)=\dfrac12(m-n)$$

[thething]

bot
Ну, в Вашем способе разве не надо будет выделить из $1-x^n$ множитель $1-x$?

bot в сообщении #1314822 писал(а):

Подбирать пример, когда безысходность приведёт к человеческим жертвам громоздким вычислениям, не хочется.

Да и не нужно, я ж не доказываю свою правоту с пеной у рта. Отвечал я на вопрос ТС, как я его понял: всегда ли можно решать такие задачи такими методами. По моему мнению -- да, но сам я так делать чаще всего не буду, ибо бывают способы удобнее и быстрее.

-- 25.05.2018, 15:41 --

Моё высказывание

thething в сообщении #1314639 писал(а):

В конечном итоге всё сводится либо к делению многочленов (в случае конечной предельной точки)

Надо трактовать так: в конечном итоге надобно любыми способами сократить неудобное выражение, для чего универсальным средством является деление многочленов.. А даже и не многочленов. Жизнь припрёт, и синус поделить придется)

[bot]

thething в сообщении #1314833 писал(а):

Ну, в Вашем способе разве не надо будет выделить из $1-x^n$ множитель $1-x$?

Надо.

thething в сообщении #1314833 писал(а):

я ж не доказываю свою правоту с пеной у рта

Мне кажется отстаиванием одноисходности занимается ТС, нет?

[thething]

Думаю, пусть он сам скажет, что он имел ввиду под своим вопросом. Мы можем только заметить, что нельзя в одном предложении раскрыть все тайны мироздания.

-- 25.05.2018, 15:59 --

bot
Ну а именно я Вам отвечаю потому, что Вы заговорили про безысходность, видимо, цитируя меня)) Ни в коем случае не спора ради

[bot]

TOTAL в сообщении #1314828 писал(а):

$m,n$ могут быть не целыми

Клёво.

[Ivan_B]

thething в сообщении #1314807 писал(а):

Можно в компактных обозначениях

Спасибо за совет. Почему-то сам не додумался.

bot в сообщении #1314842 писал(а):

Мне кажется отстаиванием одноисходности занимается ТС, нет?

Нет. Я пытаюсь оценить какие упражнения решать, а какие пропустить.
Самостоятельно я могу поделить упражнения по темам примерно так (я сильно сомневаюсь, что это правильно, но это все, что у меня есть):
Есть упражнения с целыми степенями(те которые я решаю), с дробными, с тригонометрическими функциями, дальше на замечательный предел, потом еще какие-то(идей как их решать нет)
Мои решения подряд идущих упражнений были выполнены по одинаковой схеме, которую я описал(на текущий момент я их решил 20, в надежде, что там будет что-то другое).
Мне была бы полезна классификация упражнений, чтобы решить по несколько упражнений каждого типа.

[thething]

Ivan_B в сообщении #1314865 писал(а):

Мне была бы полезна классификация упражнений, чтобы решить по несколько упражнений каждого типа.

А нет её. Да и одну и ту же задачу можно решать по-разному. Пока учитесь, решайте всё, кроме, как я говорил, случаев, когда Вам совсем совсем очевидно и время на такие мелочи тратить неохота. У Вас в голове со временем возникнет своя классификация, не совпадающая (возможно) ни с чьей.. Я так думаю, по крайней мере.

TOTAL
А чтобы провернуть такой финт, Вам надо доказать, что пределы отдельных слагаемых существуют.

[Ivan_B]

thething в сообщении #1314866 писал(а):

А нет её.

А жаль... Тогда несмотря ни на что решаю все подряд.
Спасибо за Ваши ответы!