Ряды с отрицательными и положительными элементами

[ShMaxG]

worm2 в сообщении #1314313 писал(а):

Хотя... тут ещё можно использовать тот факт (тоже не особенно тривиальный), что сумма $\left|\sum\limits_{k=1}^n \sin k\right|$ ограничена сверху для любого $n$ (есть явная формула) и применить признак Дирихле.

Ну видимо да, это самый простой вариант здесь. Почему-то забыл про этот признак.

Otta в сообщении #1314317 писал(а):

Если $a_n=\beta_n b_n$, и $\beta_n\to 1$, то сходимость $\sum b_n$ не влечет сходимость $\sum a_n$ без предположения о знакопостоянстве (или дополнительных требований к $\beta_n$).

А есть какой-нибудь конкретный (может быть известный) пример, когда в таком случае у ряда из $a_n$ нет сходимости?

[Otta]

ShMaxG в сообщении #1314318 писал(а):

А есть какой-нибудь конкретный (может быть известный) пример, когда в таком случае у ряда из $a_n$ нет сходимости?

Ну например, что придумалось:
$\sum \left(\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n} +\dfrac{1}{n} \right) $
Общий член эквивалентен первому слагаемому. Но ряд расходится как сумма сходящегося и расходящегося.

Возможно, это и классика, даже очень возможно.

[Null]

Стандартный способ : $a_k = \int\limits_{0}^{\frac{\sin k}{k}} \frac{\sin x}{x} dx=\frac{\sin k}{k}+\int\limits_{0}^{\frac{\sin k}{k}} (\frac{\sin x}{x}-1) dx=\frac{\sin k}{k}+O(\frac{1}{k^3})$

[MestnyBomzh]

Otta в сообщении #1314304 писал(а):

Тейлору до главного члена асимптотики подынтегральную функцию, остальное загоняем в о-большое,

А как "брать" интеграл от "О-большого"?

[Null]

Лучше уберу.

[thething]

MestnyBomzh
Вспомните определение $O-$большого

[MestnyBomzh]

thething в сообщении #1314347 писал(а):

Вспомните определение $O-$большого

$f$ является «O» большим от $g$ при $ x\to x_0$, если существует такая константа$ C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_{0}$ имеет место неравенство
$ |f(x)| \leqslant C |g(x)|$.
В нашем случае, $\frac{\sin x}{x} = 1-\frac{x^2}{6} + O(x^2)$. Теперь берем интеграл от $O(x^2)$. Тут я смотрю на определение и понимаю, что если я вместо $O(x^2)$ подставлю, например, $x^2$, то получу снова некоторую оценку сверху. В то же время, выше обсуждалось, что нам бессмысленны какие-либо оценки сверху/снизу..

[Null]

MestnyBomzh в сообщении #1314368 писал(а):

В то же время, выше обсуждалось, что нам бессмысленны какие-либо оценки сверху/снизу..

Оценки отношения и разности ведут себя по разному.

[thething]

MestnyBomzh
Во-первых, второе слагаемое уже лишнее, а во-вторых, вы можете оценить модуль интеграла от О-большого величиной $\frac{C}{k^3}$.

[MestnyBomzh]

thething в сообщении #1314374 писал(а):

Во-первых, второе слагаемое уже лишнее

Ну да, там его можно тоже запихнуть в $O(x^2)$. Окей, тогда получаем:
$\frac{\sin x}{x} = 1+ O(x^2)$. С первым слагаемым всё ок, там будет сходящийся ряд. Теперь берем интеграл от $O(x^2)$.
Тогда $|\int\limits_{0}^{\varepsilon} O(x^2) dx | < \frac{\varepsilon^3}{3}$
Так верно?

[Null]

$100x^2=O(x^2)$ - проверьте

[MestnyBomzh]

Null в сообщении #1314537 писал(а):

$100x^2=O(x^2)$ - проверьте

Возьмем $C = 101$, тогда верно, что $|100x^2| < |101 x^2|$. Значит $100x^2 \in O(x^2)$

-- 24.05.2018, 13:24 --

В интеграле я рассуждал аналогично, подынтегральная функция является О большим от $x^2$, значит по модулю всяко меньше, чем $C \cdot x^2$
$|\int\limits_{0}^{\varepsilon} O(x^2) dx | < |\int\limits_{0}^{\varepsilon} C x^2 dx | = C \cdot \frac{\varepsilon^3}{3}$

[Null]

Это называется $O(\varepsilon^3)$

[MestnyBomzh]

Да, то есть в нашем случае это $O ( \frac{\sin^3 k}{k^3} )$
Тогда $\sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_k| < C \sum\limits_{k=1}^{\infty} | \frac{\sin^3 k}{k^3} | $. Последний ряд сходится абсолютно, а значит сходится абсолютно и $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$, а значит и сходится исходный ряд.
Верно?

[thething]

Неверно. Исходный ряд абсолютно не сходится, ибо превратился в сумму двух рядов, один из которых сходится лишь условно, а второй -- абсолютно.

-- 24.05.2018, 15:54 --

Если, конечно под этим

MestnyBomzh в сообщении #1314565 писал(а):

а значит сходится абсолютно и $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$

Вы имели ввиду исходный ряд